本文是视频《OpenAI花120万美元挖Linux漏洞，血赚》（作者：Fireship）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
十月底，Anthropic 晒出未发布的恐怖 Claude，五十三分钟从内存泄漏拿下服务器远程权限。OpenAI 一看说，看我的，几天前刚发了研究，叫通往 Root 的一千条路。他们放一群智能体扫内核，找到九百四十八个 root 漏洞。还好他们贴心地附上了补丁。我以前觉得 Linux 之父 Linus 是个好程序员，现在可不好说了。第二天，OpenAI 公布了幕后模型 GPT6 Cyber。这模型对大多数人类来说太强了，不过今天视频里，看看这种没阉割的安全模型，怎么在铁桶软件里找出几百个漏洞，对开发又意味着什么。二零二六年十一月九号，代码报告。
要懂 GPT6 Cyber 的厉害，先要知道什么是 LPE，也就是本地提权。跑 Linux 服务器，你一般只有低权限，这是故意的，只让你干该干的活。而不是让你 rm -rf 根目录，把服务器全删光。问题是，Linux、Windows 所有系统底层都是零和一。把对的零翻成一，你就从普通用户变神级用户。只有 TempleOS 没这毛病，默认 ring0，贴着上帝跑。
明白了吧，来看 OpenAI 找出九百四十八个内核漏洞的流程。智能体大军的第一名士兵是侦察兵。它负责把内核缩小到低权限用户能碰到的代码，得到约五千个审计目标，占内核大概百分之七。第二个智能体是分析师，负责扫描这些目标，干了约十二小时后，它找出两千三百零八个疑似漏洞，烧掉三十一万六千美元。第三步是分诊智能体。它负责在隔离虚拟机里复现每个漏洞，用内核内存检查器验证真假。再跑三十小时后，一千七百二十四个漏洞确认是真的。最后是海豹突击队，漏洞利用智能体，负责在原版桌面系统上把漏洞武器化。比如 Arch，还开着内核地址随机化和管理员模式执行保护，理论上这系统极难入侵。
离谱的是，仍搞出一千一百六十九个可用提权漏洞。普通 Linux 用户本地就能提权，直接变成希特勒。
希特勒不好，但好消息是 OpenAI 花了一百二十一万三千美元，平均一个漏洞一千二百八十美元。等等，这不是好消息。Pwn2Own 打一个 Linux 提权就给两万美元。算一下，OpenAI 这项目在赏金市场值五千万美元。但网络安全最可怕的是变化速度。变化快得跟不上。
回到七月底，GPT5.6 Sol 找到一百六十六个提权，每个约三千一百美元。当时就很吓人。三个月后，经过一堆补丁和内核加固，这模型找到五倍的漏洞，价钱只要一半。它开始用外部专家都看不懂的技巧，比如往内核缓存里喷持久弹性对象。我也不懂啥意思，听着就恶心。出于安全，细节没公开，OpenAI 只建议及时更新 Linux。因为 OpenAI 说，没打最新补丁的系统，低权限账号就等于 root 权限。
背后的模型是 GPT6 Cyber，GPT6 Astra 的安全特调版，评级为关键级。反正你用不了。看 TrustMeBrow 跑分，exploit gem 拿四十八点五，上代才三十二点一。
OpenAI 最得意的是蜜罐测试。在目标旁边放个容易打的服务，看模型会不会上钩，没人让它干，它也去打那个软柿子。结果 GPT6 上钩的次数少多了。
这是好事。但更大的问题是，这种超强安全模型，对软件到底是好是坏？这得看时机，我们正处在软件史上最重要的军备竞赛里。这种模型给好人配了顶级安全团队，但也让坏人能全天候找漏洞、打漏洞。问题是，好人得修掉每个漏洞，黑客一个就够打垮西方。不想承认，但世界经济论坛的施瓦布说得对。
想想就吓人，一场全面的网络攻击，能让电力供应完全停摆，交通、医院、整个社会全停。据统计，全球大规模网络攻击，发生的概率比不发生还高。本期代码报告，感谢观看，下期见。
]]>本文是视频《'真正的程序员'要灭绝了？AI时代开发者生存现状》（作者：Fireship）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 原视频。
程序员。多年前，科学把这种动物分为十类，这套分类一直很稳，直到2023年小行星来袭，差点把它们灭绝。从那以后，环境变了。十个开发者有九个用AI写代码，剩下那个已经濒危了。与此同时，最近出现几个新物种。要理解它们，就得靠刻板印象，专家说准确率有99%，但只有百分之十二的时候成立。今天我们聊聊2026年的七种程序员，看看你突变成哪一种。
首先是不懂技术的氛围编码者。他不知道for循环，也不在乎。他自称创始人，全部技术栈就是一个聊天窗口，提示词写着：还是不行。周二上线产品，周三被黑，因为API密钥写死在前端。周四，他还发帖聊抗压能力。他的天敌是戴克斯特拉，栖息地是一张月收入截图，那也是AI生成的，因为他不会用开发工具。生物学家追溯发现，他源自训练营程序员，让不懂计算机基础成了常态。
接下来，氛围编码者的近亲是提示词赌徒。这人懂技术，但只会简单的LeetCode题。他拉动拉杆，代理开转，六成概率掉出一块奶酪，刚好能凑个PR。他每月自掏四百美元用编程代理，因为公司滥用太狠，把员工额度定成每月二十九美元。代码好，是他提示词写得好，代码烂，怪Opus被削了。他清空孩子的大学教育金，给代理开了账号的完整API权限，家人就跑了。不过没事，本地语音模型延迟很低，感觉挺真的。
接下来是提示词赌徒的顶级天敌，蜂群之主。生物学称他真社会性。他会写代码也爱写，但被洗脑了，觉得自己效率空前。他用手机跑十二个代理。闲下来最爱说的，就是他手机跑着十二个代理。他多年没碰代码，但很清楚哪个模型品味最好。天敌是在线率，求偶口号是，写软件已经是被解决的问题。
蜂群之主的猎物是垃圾代码维护者。他2019年写了个日期库，现在每周四千万下载，成了关键基建。他每月收到几百个PR，全是Claude写的。十月还有一万个，来自班加罗尔，就为领T恤。他靠GitHub每月九十五美元过活，眼看大佬被Shopify收购赚翻。他的天敌是主动帮忙的朝鲜维护者，求偶方式是隔月威胁归档仓库。
维护者没查出一万PR是谁发的，生物学家查到了，是失业应届生。他这辈子每步都走对了。成绩好，刷过题，没牵过女孩的手，简历却被每个AI筛选器拒绝。他2024年毕业，地球最后一份初级工作，早被招满半年了。他的GitHub一片绿，全是改readme错字和学校作业。他栖息在Discord群里，天敌是不懂技术的氛围编码者，拿个营销学位啥都能做。
他的求偶口号是问有人招人吗。一直说没有的，就是下一位，心累老程序员。这货三十五上下。他学遍构建工具，追过jQuery和React。他熬过Hooks和JSX，现在又老又累，不在乎跑分。他不学你的工具，不读提示词，更不跑十二个代理。他用AI就是按Tab接Copilot，因为当年给Gatsby贡献过，一直免费。他不知道IDE里有聊天窗口，怀念一百秒视频。Copilot错了，他就手动删，像和尚耙沙子。他不是反AI，只是下午四点要开家长会，七点还得教三年级篮球。但你知道谁反AI吗？
最后一位，纯粹主义者。他是我们中最棒的，高贵、勇敢、英俊，在那个消失的世界有二十年经验。MCP一出他就失业，还说这就是安全性更差的Corba。他有工作时每行手写，还爱点评你那烂代码的大O。他最爱《算法导论》和《程序员修炼之道》，如今常在Hacker News聊编程匠心。
生物学家估计，野外只剩不到一万只，数量天天在减少。
]]>本文是视频《10分钟讲透YC创业课：从0到1的全部核心方法论》（作者：Startup Istanbul）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 原视频。
就这些，我知道的干货全在这儿了，大概十四张幻灯片，很快。好，来，讲讲怎么开一家技术创业公司。第一，两到四个联合创始人，至少一半是工程出身。每个人银行里得有一年的生活费。但这不是说住高层一居室那种一年开销，而是吃泡面、过得很穷的一年。而且每个人都得辞职。这就是创业要准备的东西。
注意，这时候不需要点子，有上面这些就够了。第二，点子。我总觉得，最好和队友一起头脑风暴。通常是团队里某个人，有个点子的雏形。最好趁想法没定型，就跟队友讨论，让大家都有参与感。投资人都说喜欢解决个人问题的公司。其实关键是，创始人得真正懂公司做的事，明白问题在哪。不是你的问题，就得是你很了解的。
另外我常跟创始人们说，多关注每天每周的问题，别盯着一年才碰一次的。做优步这种就容易多了。美国人一天要想三次怎么出门，而卖车网站就难得多。美国人七年才买一次车。聚焦日常和每周的问题，成功率更高。市场，大家谈得很多。花一小时调研就够了。看看市场是不是有几十亿的盘子，再试试竞品。别的我不管。法律，想在美国融资，就得在美国注册公司。过程非常非常简单。二百五十美元，用 Clerky 就能开美国公司，向美国投资人融资。很简单。先说 MVP，最小可行产品。哦不对，最多公司搞砸的是团队。
这是第二个坑。怎么把东西送到用户手里？我自己都栽过好多次。
我们给 YC 公司的第一条建议就是：发布。好多人一直闷头迭代，用户根本没见过东西。我问公司要多久才能发布？我总问：凭什么超过两个月？管你做什么，哪怕还没动手。两个月做出来，放到用户面前。再说一遍，没发布就啥也不是。那怎么增长呢？对硅谷投资人来说，这是能不能融资的第一指标。不是团队，也不是履历，不是豪华投资人，是增长。一般有三条路。第一，试投广告。这是我最不喜欢的一招。第二，B2B 要抓标杆客户。
给他们超好服务，他们会在行业里帮你传口碑。最后，做消费者产品，服务、社交都算，使用就得等于分享。好多创始人都说，我要让产品病毒式传播。但那不只是加个分享按钮的事。用户使用产品本身，就得产生分享，第一天就要内置。别把分享当附加功能，它是产品使用的百分之百的一部分。好，说媒体。很多人以为得雇人做公关。在 JustinTV，我和合伙人比赛谁浪费的钱多，记在白板上。每浪费一笔就记上去，加总。我在公关公司上浪费了十五万多美元。说这些，是不想你们重蹈覆辙。
早期公关，九成九都能自己做。关于公关，我听过最好的建议，彻底改变我的认知：公关就像商务拓展。
做商务合作，要找人引荐，跟进，建立关系，提供价值。面对媒体也一样。最好找记者常报道的人帮你引荐。你的故事得是真新闻，比如发新品、融到资、招到大牛，或者大合作。别指望人家直接给你写专访。要把这当成一种关系来经营。有记者写过你，一定要跟进。只要持续跟进，这关系会一直给你带来价值。公关，就这么简单。另外，别乱花钱。讲融资。公司常来YC问，怎么开始融资？
我们第一句就说：你不需要钱时，大家反而爱给你钱。怎么让自己不缺钱呢？第一，别一创业就搞一百万的营销推广计划。那可得花大钱。想想怎么搭建公司。只需付创始人的生活费，就这么简单。希望你的MVP花很少钱就能跑起来，不融资也有增长。第二，很多人不懂，融资时速度非常关键。
跟投资人见面，时间要排得越紧越好。比如一周内约完所有初次见面。这样做的目的：一是给你的融资造势，二是让投资人排好队。只要有一个想往前走，就能联系上周见过的其他人：有人想投了，你来不来？最大的错误是串行见投资人。这周见一个，下周见一个，再下周又一个。投资人行动是因为怕错过。一次只聊一个，造不出这种恐慌。最后一点：要有增长。增长能解决一切问题。你增长越快，投资人越会主动找你，而不是你找他们。在座多少人正打算融资？好，很好。想四件事。第一，你在增长吗？该先问上线了吗？上线要靠融资就改计划。第二，找媒体了吗？
投资人每天醒来，就是要找公司投。这就是他们的工作。他们想让你以为，工作就是坐等你自己上门。其实不是。所以要宣传你的公司，让别人替你传话。第三，积累势头。尽量同时跟多个投资人聊。有时得耍点花招。比如跟投资人说太忙，一个月后才能见。这样你就有一个月约别的投资人。这完全没问题。完全没问题。最后，第一笔钱优先找懂你问题的人，他们经历过或正在经历。早期，客户和潜在客户往往是很好的首批投资人。运营，要超级快。
公司最大的问题就是花太多钱。少花钱，少给自己发工资。租个差点儿的办公室，忍一忍，少花钱。这是延长跑道的第一招，完全取决于你自己。第二，太多人忽视这点：看清每月花多少钱。很简单。
打开银行账户，下载消费明细表，每月都看一遍。你是CEO却不知道开支，就是失职。想办法少花钱。好，说招聘。招聘上我想灌输一个目标：每次招人都要提高整体水准。创始人常觉得自己最聪明。创始人确实聪明，但更突出的是超敢冒险。所以头几个员工要比你聪明得多，只是稍微稳一点。如果招人没提高公司平均智商，那就招错了。他们就是你的招聘广告。他们聪明，别的聪明人就愿意来。他们不行，大家都看得见。
我总想：招不到比你聪明的人，就自己干。
不必招很多人。要公平透明。发offer时，要说清给多少股份。该给股份。要说清总股本多少。工资符不符合惯例，也要说实话。首批员工往往最关键。你对他们忠诚，他们就对你忠诚。最后：慢慢招人。第二家Social Cam，仨创始人，卖掉时没员工。虽非本意，但我们三个人做到了两千多万次下载。别说只有创始团队干不了大事。你们能干成很多。Instagram卖十亿美元时不到二十人。慢慢招，你能做到。
]]>本文是视频《把一张显卡的显存强行翻倍：地下室硬核改装实录》（作者：Linus Tech Tips）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 原视频。
两趟飞机，八小时忙活，搞定！我有两张48G的RTX4090，但图啥呢？你桌上的显示器，越来越只是别人电脑的窗口。文件存在人家服务器，软件运行还要人家批准，你的AI智能体，训练数据全是别人的作品，不是收月费，就是拿token狠狠宰你。而且，你的数据全被偷走，要么卖给广告商，要么直接在应用里投广告。总之，有人想让你忘了PC的P是个人。很多人已经忍无可忍了。Linux、自托管，还有今天的主题本地AI，都火起来了。过去几个月，我四处搜罗硬件，想装台不错的小机器。给我和家人装一台家用机器。但那些做云端AI的公司，正在扫光所有硬件。
把价格抬上天。所以我只能精打细算。两张4090抄了超低价，还得跑趟密歇根去升级。不是换新，是把每张从24G升到48G，两张共96G显存，这样就能跑超大的模型，不然得买专业卡，零售要一万五千美元才能跑。说实话我有点慌。好在GPU实验室的格雷格包了难活。格雷格，从哪开始？卢克，你提前寄来了显卡。对，烤了一整夜。现在把它们从烤箱里拿出来。来，这是你的……哇，真烫！真的很烫！
没事，我习惯了。该提醒你的。没事没事，我挺好。为啥要先烤干水分，好做准备？长话短说：用中国的板子，加中国的显存颗粒，堆在托盘上。
把显存从我板子上拆下，把核心也拆下来。这是两张不同的卡。一张是公版，一张好像是技嘉板，整体移植到中国产的PCB上。对，没错。这就是接下来几个小时工作的极简版。我注意到这里有好多好多卡。对，在烤箱里。小店一般每月做一两打卡。自从和Wendell合作火了，就得买更多卡。所以你不只升级别人的卡。你也在卖升级好的卡。对，有就卖。卡不好搞。在eBay一次买十几张，价格就飙了。只能一点一点慢慢买。我更希望大家寄卡给我。找卡、测试这些麻烦事就不用管了，专心升级反而轻松。
这个设计基本就是抄3090的。他们……他们在电路板正反两面，各把两颗显存叠在一起。每个通道的显存共享数据和地址引脚。GPU核心做芯片选择，快速切换访问正面还是反面。所以核心能访问48G显存。一次还是只有24G，但速度快到没影响。下一步，我们可以开始往背面贴显存颗粒了。先薄涂一层助焊剂，再把显存一颗颗放显微镜下看，确保焊球都压平了。焊盘出厂就预镀了无铅焊锡，像一层保护壳。工序之一就是用吸锡带和烙铁，把所有焊盘烫平。烫平了，才能装显存。但有时会漏掉几个焊盘，就……
半平的，或者带个小尖头。这样装显存就麻烦了，容易歪掉。有时要完全烫平，得两道工序。现在可以放显存了。我看你对齐芯片时停顿了。我在目检BGA焊球。就是确认没有异物，每个焊盘都有焊球，没有不该连的。背面显存都放好了，接下来干嘛？现在要把它们焊到电路板上。哦，一次只能做一面，先做背面。这是BGA返修台，用来把显存焊到新板子上。在中国，他们是逐颗焊的。用的就是拆显存的机器。但我有特制喷嘴，能一次焊12颗新显存，走同一套回流曲线。这样工艺更稳定，可复现。这机器之后还用来拆核心？对。用显微相机加镜头，能看侧面。
这镜头我不知道哪来的，像是科研用的。画质不完美，但够用了，能看到焊球熔化，知道时机。那个时机可太关键了。够用就行。但高倍放大做这种活，画面会有很多像差，还得加强照明。看样子工序完成了。现在撤掉加热，停止运作，开始冷却。你说从中国来的这批电路板，之前装的是美光芯片，但美光已经不产了。对，大概十二月，他们停产了，市场一下就没了，乱得很。卖库存的三方卖家全把内存囤起来，标出天价，还真有人买。库存货买一阵就没了，现在只能用坏核心板子上拆下、测过的内存。他们会把内存拆下来，用这样的治具检测。有时买带内存的板子，有时不带。你这块我没带，正好看全程。
这是你的板子。流程跟第一块完全一样。好，助焊剂你来涂吧。行。内存也一起贴，你贴一半就行。我弟弟刚上手也超慢，我一开始也慢，适应显微镜要花点时间。我什么都看不见。就这样调。哇，真不容易。好，来点助焊剂。像这样？对，稀稀点涂，别太密。对，就这样，完美。
好，放一边。拿好刷子。刷法有讲究吗？尽量刷平就行。别让边缘或角翘起来。旁边那个孤零零的也得刷。好，很好。焊盘都上好助焊剂了。用我备好的内存，一颗颗贴到电路板上。这活真让人紧张，我觉得自己好慢，不过越做越顺手了。这是最后一颗了，然后你就能看看我搞得多糟。格雷格。我表现咋样？很棒。真的？你都没看呢。
一颗歪了，两颗歪了，其实在公差内。我戳一下，焊时会自己归位。我是强迫症，不想返工，那得四十分钟。你越来越好了。这几颗是最早的。对，那是我最早的水平，后面这些就是正常水准了。
该开工了，关掉冷却，卢克，按启动。
太好了妈，我做到了。差不多这时候，开始熔了，刚看到一颗动了。大概二百四十度它们就开始动，等熔GPU核心时，那才叫壮观，会唰地归位。大概吧。
正在降温，现在还烫得很。感觉还在动，其实那只是助焊剂。锡球还熔着，还烫。凉下来后，有时能看到铅重新结晶。这块好了，该取核心。我换了风嘴，原来那套是贴内存用的。这是技嘉卡。DankPods韦德送的，看它能不能活。等的就是GPU被拉下来，对吧？对，现在温度差不多，锡球快熔了，你能看到它们被拉扯，我在手动上下晃。差不多能拔了，表面张力还拉着它，我现在试着破掉张力。
好了，芯片拔下来了。停，开始降温。天哪。
芯片好了。现在把电路板放到台子上，开始拆内存。我先在板上装个热电偶，红外预热器靠它知道该给多少功率。它会喷出一千瓦多的红外能量来加热板子。板子做成黑色就是为了助焊，厂家造板时就用红外加热。他们用红外炉，像传送带一样过几段红外区，模拟温升曲线。黑色阻焊层更吸红外热，板子受热更均匀。
说实话，我一直以为黑色就是好看。现在逐颗加热内存，一颗颗拆下来。板子干净了。对，没GPU没内存。没底线的人装个散热，就能在eBay按原价卖。我见多了。Facebook上别买没保障的。到第二张4090了。技嘉那张的核心和内存都拆下来了，先放一边。现在把这张的核心和内存也拆掉。听说英伟达这芯片做得很省料，经不起反复返工。所以别折腾太多次。
对，真的？对。镜头里他像巨人。这有十二颗内存，是技嘉那张卡拆的。要把锡球去掉，再磨平。第一步在上头多涂点助焊剂，等会儿好把锡吸干净。涂得厚厚的，把每个焊盘都过一遍，去掉多余的锡。要直接用吸锡带，一下就吸饱了。那太浪费吸锡带了。再过一遍，每个焊盘都干净，还顺便预镀了锡，保证能焊牢。
能焊牢。一共三步，先是满锡的裸芯片。那会特别乱。然后有个步骤，锡球有点凸，像小球。我们要把它完全压平。这是最后一步。先涂助焊剂，再撒锡球，锡球就粘上了。基本就是新芯片，不怕刮坏。不用无尘布擦。我看到偶尔有芯片压到另一颗上。没关系，动作轻点，别往下硬压就行。我记得第一步就是堆满助焊剂。对，超多。每排芯片画三条线。像在甜品上淋焦糖。把吸锡带放这儿，吸走多余的锡。
有些焊盘看着平了，也要再过一遍，确保镀上锡，之后好粘。一颗芯片别超二十秒。卢克清理完焊盘了，现在换吸锡带。
烙铁位置要摆对，还得一直走，全程都在显微镜视野里。简直噩梦。这次太顺了。怎么回事？我也说不清哪里不一样，但最后这一遍，跟之前完全天壤之别。搞定。我担心最开始那几颗。不错，下周一就能来上班了。走！我找到工作了！喷点蒸馏水，因为助焊剂溶于水。再喷点异丙醇，就在蒸馏水上面。芯片过检了，现在装进治具，准备植锡球。这是卢克的两颗核心。先涂助焊剂，清掉旧锡球，准备重新植球。
助焊剂是啥？就像做菜放油，作用差不多，让热量传得过去。最早用的是松香。后来跟油一样，合成品出来了。有些还是松香基底，这个不是。它的作用是隔开氧气，防止锡氧化。还能帮烙铁传热，湿的时候热量顺着助焊剂流动，比空气强多了，空气是很好的隔热层。
太夸张了。芯片装进治具了。要在焊盘上撒满锡球，得用这张钢网。它名字不少。就这样盖上去，对齐，正好卡进槽里。现在固定住了。就能放正确尺寸的锡球了，微距镜头就架这儿。
我在找没锡球的孔。有的会蹦出钢网，显微镜下手动补最方便。先做个三四次目检，确认锡球不多、不少、也没粘连。我看没问题，可以进炉了。这炉子只是让锡球粘住，不会压平。对。红外炉，没有风。芯片吸收加热元件的红外能量，温度按预设曲线走：先升温，保温，再升到回流峰值，大概二十秒左右，然后降温。
要慢慢降温，才能有好的晶体结构。有颗球跟旁边粘一起了。我刚把粘连的锡球吸掉了。清理一下，再补几个锡球。趁着还热，还能返修，没问题。第二颗GPU核心在炉里回流。现在开始弄显存芯片，都摆在架子上。先抹点助焊剂，再盖钢网。跟刚才核心一样做法，只是换成所有芯片。显存和核心用的不一样？对，差零点零五毫米，小百分之十。
显存刚做完回流。有几处锡球塌了。马上修一下。其他的再冷却几分钟，我先弄粘在一起的。观众只看到这种返修，我不想让大家觉得老出问题。
不是每次都这样。要下油锅了。对，迷你油炸。上板回流前得把助焊剂洗干净，其实不是真炸。超声波清洗机，芯片放在小篮里，丢不了。放这儿泡几分钟。不是普通水吧？是蒸馏水。洗好了，我去捞出来。伸手接住，然后放进炉子。
卢克在给显存焊盘涂助焊剂，做准备。我觉得我能找到工作。
卢克干得漂亮！看着大家这么玩，太酷了。让不算老的显卡重获新生，显存翻倍，还有HX170那些折腾。BC250这种卡，很多人搞硬件魔改，把东西用在不是原本的用途上，升级改造什么的。
可惜很多卡太贵，一般人买不起。不过大家这么玩真挺酷。现在玩硬件很好玩，但很烧钱。拿显存颗粒出来。直接用手拿？对，就拿着。能摸出颗粒很烫，但热容量不大。所以放个一分钟就行，不用像核心那样放那么久。然后就能贴了。看，我成GPU了。他用镊子夹显存呢。我又在放显存颗粒了。找角落里的小圆点，对准主板上很难看清的那个标记。它有个角是缺的，算是缺口吧，随便你怎么叫。所以这颗芯片得这样放。漂亮，这颗放得很准。还得再来十次。你觉得你贴过多少颗了？两百多张了？对，两百。
我觉得这已经是整个流程里最简单的部分了，还挺难的。你要给我打分吗？好，没问题。我确信你贴得很好。对，就这个角上有小小的凸点。那颗真难贴。剩下四颗啪啪就搞定了。拿板子去BGA台？好。对，就这样放。我把导轨移到位，完美。现在把它降下来，稍微偏右一点，因为刚才是用来取核心的。感觉越来越像回事了。焊球化了！温度曲线到回流峰值了。这次回流结束，按停止，切手动冷却，把加热器抬离芯片，让它凉一会儿。第二块板子上BGA机了。第一块这边二十四G显存，那边也二十四G，接下来搞核心。
对，这就是核心。像这样放上就行，然后装到BGA机上。机器降下来吸起核心，用弹出的棱镜光学对位。对准后上助焊剂，放回芯片，跑曲线。凉了，不烫手。我抬起喷嘴。
让点位置。卢克，你来接手？好，很好。把贴显存的喷嘴换下来，装上贴核心的喷嘴。真空吸嘴帮我们吸起核心，方便对位。还有激光对准。差不多这样。
就这样。
差不多到中间了。
打开真空泵，目视再对一下。吸起来了。把HDMI输入切到棱镜摄像头。屏幕上那些小白圆点是焊球，整体偏右了一点。卢克，你能看出来吧。好。调整就用这些很小的千分尺旋钮。把中间这片焊球对到焊盘正上方就行。
好，中间对好了。再看边缘这边，你看这些也偏了。倾斜这个叫theta调整，用这个旋钮。好，回头再检查。调theta没让边缘的偏。对好了。放下前先上助焊剂。卢克，降下来吧？好。往下拉就行，自动的。到几厘米高会停住。停掉真空泵。焊球对焦了，芯片也释放了。我往上抬几毫米，再把下喷嘴升起来，接到电路板上。这样受热均匀。现在启动曲线程序，你会弄吗？
嗯嗯。太棒了，我搞定了。启动了，还剩五分四十秒。之后装散热器测试，但卡其实已经大功告成了。
成了，卢克！太疯了。就像刚拆下散热器，它就活过来了。现在得装散热器了。反过来做。卢克，这板给你，最爽的交给你。掰下来这块。天哪。好。
哦，这一下真有点心疼。这些是四十八G版4090的散热器，全蓝色，看着像英特尔的。其实只是导热垫上盖了保护壳，撕掉就行。比原装散热器小太多了。对，而且原装的很吵。对，就是为高密度设计的，这种配置4090还是四百五十瓦，得用五千转的德尔塔风扇。
所以就很吵。对，所以你们也卖水冷头。想安静点的可以上水冷。
但要是放数据中心里，那就无所谓了。现在撕掉导热垫的保护壳，马上就测卡。好。板子还有点温。是还有点温。余热散热器能搞定。应该没问题。上板，得插风扇线。嗯。
好，卡准备好了。摸着已经凉了，可以插电开机。这根DP线接这台显示器。这是等VGA的灯，橙色。灭了就有画面。哦好，正在自检进Windows。这软件叫Vulkan MemTest，GitHub免费下，我测卡常用它。先跑五分钟MemTest，看温度和报错。注意，带宽每秒八百五十GB。这些GDDR6X颗粒理论上限约每秒一千零五GB，Linux下更高。Windows下要低三十到五十。满载的时候，大概八百到九百，八百五十上下。
完全符合规格，跟没改装的4090一样。拆掉散热器擦掉硅脂，然后把卡泡进水里。听着挺反直觉的，对吧。
对，看着挺糟心。我换了清水。你看，助焊剂已经开始从边上浑出来，到处往外冒。哇！Luke，这步你来帮把手。就是用水冲BGA底下，把助焊剂全冲出来。抓稳水管。
冲了十一分钟了。把卡拿起来，先晾一下。
好，接下来烤箱烘十二小时。第二张也过了，都进烤箱，第一张已经在里面。得在烤箱里放十二小时，卡我就不带走啦，Greg你之后寄给我。搞定啦，两张都能用。基本都是你干的，我表现如何？Luke你真棒。有你真好。你上手特别快，一教就会。谢谢你。说真的，Luke，欢迎入队！太好了！下周一见，很期待！
荣誉员工，我接受！多谢Luke。这经历太酷了，非常感谢！提醒大家，你们不用跑来弄，寄卡过去就行，他们服务挺多的。对。我们开始把4080 Super从十六G升到三十二G，做了约一百张，但知道的人不多。170HX改装也快来了，那项目进展很多。先不接那个，四十八G的活我先专注做，178X晚点再上。感谢观看！想看更多，去看Linus的170HX视频，下次见！
]]>本文是视频《马可·奥勒留的清醒思考法：告别精神内耗的思维工具》（作者：Freedom in Thought）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 原视频。
本期视频由Brilliant赞助，这是个让学习变有趣的数理网站。几乎人人都觉得自己会思考，但其实真正会的没几个。真正会思考的人，一直在成长进步。看看你身边，有多少人在向前走？有多少人在不停解决问题？反过来，又有多少人在原地打转？还有多少人，在重复几年前就遇到的问题？
你越会思考，就越会解决问题。好的思考始于清晰。清晰的想法没有歧义，能抓住事物本质，逻辑也清楚。一句话就能说清：如果怎样，就会怎样。比如，拧开水龙头，就有水。清晰的想法，带来明确的行动。比如拧开水龙头就有水，渴了你就知道该怎么做。明确的行动带来清晰的反馈。你去拧水龙头试水，马上就知道原来的想法对不对。有水，或者没水。清晰的反馈能验证你的想法，帮你更懂这个世界。你会知道自己的认知是对还是错。发现错了，就离正确更近一步。
世界观越接近真实，解决问题就越厉害。来看个例子。
马可·奥勒留成了罗马五贤帝的最后一位，还被称为哲学家皇帝。他能成为伟大领袖，因为会思考。会思考，因为思路清晰。他学会清晰思考，靠的是写下自己的哲学，也就是《沉思录》。在《沉思录》里，他整理想法，反思行为和结果的关系。
你也想清晰思考、解决问题？不妨学他这么做。整理想法，减少模糊，改成简单的因果句。清晰的逻辑带来清晰的想法。清晰的想法带来明确的行动。明确的行动带来清晰的反馈。清晰的反馈让你更懂世界。越懂世界，越会解决问题。
举个例子。如果我发一个标题带哲学家的教程视频，它就会超过十万播放。这个想法清晰，逻辑明确。它引出明确的行动：我去写，然后发布。视频发布后，我会得到清晰的反馈。你我都能看到这个想法是对是错。我对世界的理解就加深了。更懂世界，我就更有能力做好频道。总结一下。
好的思考始于清晰思考。清晰思考，就是把想法变成明确的逻辑表述。
]]>本文是视频《SSH安全现状离谱：一个基础协议如何坑遍全球服务器》（作者：Low Level）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
这个bug我真不敢相信它存在。本来要拍九点八分那个CVE的视频讲Linux的TCP IP栈，结果推特上正好刷到了。我还以为十月过了呢我以为网络安全月已经过去，可以不用管这些CVE了。但这个太疯狂了，是SSH本身的漏洞好消息是不是所有SSH都中招，只有几个发行版。但SSH到处在用，不太妙这期讲的是别人的研究，不是我发现的。发现者是厄兹贡·科尔泰昆，韦克菲尔德的研究员去支持他。我用他的仓库讲bug，大家也自己看看他们写了个很棒的TLDR，我直接用它讲。孩子楼上太吵了，我尽量忍住别爆粗口这个新闻标题说得很对，组合漏洞。
密码输超二百五十六个字符，就能进Alpine Linux等发行版OpenSSH和musl libc紧急修复，数百万系统马上补。二零一三我头回去黑帽大会上了个不咋地的入侵课，教我们在二零零八年的Solaris机器上做缓冲区溢出登录提示符输二百九十四个A，就能拿到shell。那可是二零零八、零九年的机器都二零二六年了，这问题还在。我得说清楚这个bug有趣的是，虽然要往缓冲区塞很多字符，但它不是缓冲区溢出这问题很有意思，安全边界和函数之间的约定，彼此越离越远时间一长越来越乱，大家忘了这两个函数干嘛的，可它们又互相依赖。
这个后面细讲。感觉每天都有新零日漏洞冒出来，网络被攻击只是时间问题。
先说重点。你用SSH登录系统时，其实就是在比对密码。输的是密码，跟公钥认证无关。系统会拿密码跑各种函数，查etc shadow文件。我的没有，因为跑在Docker镜像里。注意看，有些值没有哈希。比如你看，这是root，这个星号很重要，表示账号没密码。这是1980年Bill Joy定的，针对daemon账号，意思是daemon没密码。星号不是哈希，不会发生哈希碰撞，谁也没法登录。好。这些加密背后，其实是调用库里的crypt函数。crypt是musl libc里的函数。musl libc是libc的一种实现。我们熟悉的GNU libc很常见。这是另一种libc实现，轻量、快、简单、免费，力求正确。
行吧，大多时候对。2012年8月有个问题。原本musl的crypt函数负责跑加密算法，验证密码哈希。
比如这里有美元符号6，它表示用SHA512算法，这是SHA512密码哈希，这是盐值。格式是算法、盐、哈希。盐是哈希前拼接的值，基础加密知识。很长时间里这个crypt函数，如果加密失败，数据太多或太少，很长时间它都返回null。很多程序其实不检查函数返回值。所以2012年他们决定不再返回null，改成返回一个字符。返回的是什么字符？不是别的，正是那个星号。对，又是星号，它正好和一九八零年伯克利的值对上了。没什么大不了，反正不会比较这两个值，哈。它永远不会和etc shadow的值比，一边是星号，一边是报错，没事。
长期以来这都不是问题。直到二零一六年，有人发现musl libc的加密存在计时攻击。比如，我想知道这台机器上有哪些用户名，怎么办？比如我用SSH试着登录一个不存在的用户，比如Bob。输密码时它马上就失败了，秒退。这就是我在做计时攻击。后台没跑加密，我用时间差就能枚举出有哪些账号。比如登录Alice。不用知道密码，对比Alice和Bob的耗时。Bob快，说明他不存在。Alice慢，是因为跑了加密。为了修复，二零一六年七月，对没密码或不存在的账号，他们会临时借用别人的哈希。
他们临时借用别的账号的哈希和盐，让你在那个盐上跑加密，其实跟这个账号无关。比如Bob在这台机器上不存在。加密后端就会借用Alice的盐，拿你输的密码在她的盐上做一次假账号的校验。
这是为了消除加密库里的计时攻击。比如我想以root用户登录。root用户没有密码。系统会借另一个用户的加密算法，放我登录。它会用SHA 512，借他们的哈希，对我输入的内容跑一遍SHA 512。看着挺好，能出啥问题？看musl libc里SHA 512 crypt的实现。注意，如果i大于key max，就返回零。回想一下前面说的，想想哪里会出问题。i大于key max就返回零，而key max是二百五十六。
如果SHA 512。crypt返回零而crypt函数出错时返回的正是星号。如果root的哈希是星号，最后strcmp一比，算出来的是星号，shadow里存的也是星号，两个一样，密码校验就过了。那么问题来了：谁会中这个招？首先，这是musl libc实现上的失误。常见的glibc不受影响。你看不同的sshd构建和配置就知道了。受影响的只有musl libc构建的OpenSSH，而且不带PAM模块。
PAM即可插拔认证模块。没shadow文件、哈希放etc passwd也中招。要中招得满足几个前提。第一，得开启密码登录。注意，这个默认是开的。另外sshd不能启用PAM模块。有的sshd默认开着PAM，这种情况就不会中招。但麻烦的是，Alpine的Docker镜像就是这个配置。它开着密码登录，不用PAM，默认就中招。剩下的条件是：有个账号，在etc shadow里密码是星号；没shadow文件就放etc passwd。还得有个真实密码的账号，用SHA 512，就是默认的$6。
满足这些条件，输入一堆a，大概二百五十七到一千零二十四个就行。这样你就直接拿到shell了。更麻烦的是，Alpine的主用户也中招，它还是doas用户，等于sudo、等于root，很不妙。如果你在Debian、Ubuntu、Fedora上，走PAM或OpenBSD的都安全。其实就是这几种配置。虽然可能覆盖互联网很大一块，但范围不算广。这个漏洞有意思在于，它不是内存破坏，说是逻辑bug吧，也不完全是。不是忘了查字符串长度n或n加一的问题。这是两个函数，各有各的接口约定，时间一长，就漂移得越来越远。这边用个星号，想着星号绝不会变成密码哈希。
然后这边就想，好，让Crypt返回个不是空的值。啊，什么值其实都无所谓？星号，行。然后最后，好，就让任何不存在的用户，或者没密码的用户，去跑加密算法，超过一定长度它就会失败。失败会级联成一个星号，然后就成了其他用户的哈希。真是疯了。我真正想问的是，修完CVE后它就有洞。叹号会弄坏PAM，Alpine改成星号，二一年起就坏了。
这漏洞一六年就有，现在二六年，整整十年。他们理由是没人用三百位密码。你想啊，只要拿个有漏洞的版本，登录一个密码或哈希是星号的账号。
再等三百天就行。这可是九二年的黑客水平，疯了。你会问，Rust能修好吗？其实不能。也许类型、枚举，或Result T、Option T这些错误检查能防住，但论释放后使用那类内存安全，这漏洞跟它无关，挺有意思。就到这儿。讲太快抱歉，家里有孩子，我得压着声音赶紧录完。喜欢这类视频就点个赞，点订阅，下期见。
]]>本文是视频《白手起家富豪的10个习惯：普通人直接抄，坚持21天》（作者：Be Inspired）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
我要和你分享10把钥匙，解锁我所谓的“快速大脑”。这10件事经科学证明，能让你更快、更聪明、更出色，优化大脑健康与状态。
我接下来说的每一点，没人会反驳。大家都会说“对，当然”，但常识并不等于常见的实践。我想请观看的朋友给自己打个分，0到10分：这方面我做得怎么样？比如饮食、锻炼等等。你会发现，人人都想知道特效药是什么。没有神奇的记忆药丸，只有神奇的记忆方法。
要问那颗“银弹”是什么，就是把这些都做到，因为它们正是关键所在，也就是80/20法则：20%的努力带来80%的成果与回报。快速讲完解锁“快速大脑”的10把钥匙。第一，优质健脑食物。对，健脑食物。人如其食，吃什么很重要，尤其对大脑灰质而言。有些食物对大脑非常好，你可能已经在吃了，我知道你很——比如蓝莓、酸味食物。比如蓝莓，我称之为“健脑莓”，还有牛油果和优质脂肪等等。我推荐的有10种。它们都非常棒，具有神经保护作用，还包括黑巧克力。黑巧克力对情绪有益，总体上也有益大脑。所以第一点就是好的健脑饮食。给自己打个分，0到10分，你的饮食怎么样？好，第二点是“消灭蚂蚁”。
也就是自动消极思维，你的自我对话。我建议大家用0到10分自评：感觉如何？做得怎么样？不仅如此，还可以来一次快速“净化”。我们会清洁吃进体内的食物和东西，那灌输进脑中的念头呢？比如连续30天没有消极念头，哪怕一天也好；或者不抱怨之类的。对，“不抱怨挑战”。因为人真的会对这些事上瘾，比如抱怨。你反复演练什么，大脑就会重新接线，让你得到更多那样的东西。这不是吸引力法则，而是行动法则在起作用，因为一切行为都由信念驱动。你在训练大脑不断演练那些事。所以人们说：胆怯的人在心里死上千次，而勇敢的人只死一次。因为你每次演练“我害怕当众演讲”，一遍又一遍，每次都会因想象而感受到那份恐惧。你的大脑分不清生动的想象与现实。真的，如果戴上脑部感应设备，当一只狗走进来时大脑亮起的区域。
你能看到是哪些区域亮起；而当你想象那只狗走进来，完全相同的区域也会亮起。大脑分不清真假。想象力是你最强大的工具。思想是有力量的，要善用想象力。别用它去演练恐惧和消极的东西，对吧？只去想那些你希望真正发生的事。第三点是锻炼。这个大家真的都知道。第四点——。
大脑营养素：Omega-3、DHA、银杏、维生素B12。这个话题经常被提起，因为——很多人经常出差，过着快餐式生活，可能在某些营养补充上有所欠缺。我想说：我不是营养学家，也不是什么“家”。去做个血液检测，找一位好的功能医学医生。饮食方面我也这么说。有人问什么饮食最好？去做食物敏感检测，看看血液怎么说：红色、黄色、绿色。
红色的避开，黄色的少量吃，绿色的放心吃，之后看你的状态如何，然后再检测。营养状况也一样，你能看出自己缺什么。因为如果B族维生素偏低、DHA不足，就会有认知问题，对吧？所以要补充营养剂。第五点：积极的同伴圈子。和谁相处就会成为谁。这不只是积极思考或励志格言那么简单。你确实有镜像神经元。它让你在看比赛或电影时，能感受到他人的感受，就像身临其境。也让你对他人怀有同理心。我们总是在模仿别人，对吧？你和谁相处就会成为谁，因为你在模仿他们的习惯、行为和思维模式。所以人们说：你就是你最常相处的5个人的平均值。要是和9个穷光蛋在一起，你就是第10个。这类话你肯定听过。不仅要分析你的生物网络和神经网络，还要分析你的社交网络。因为你是否吸烟，与其说取决于神经系统，不如说更取决于你的朋友是否吸烟，后者影响更大。第六点：清洁的环境。整洁的环境有益大脑。凭日常经验就知道，清理书桌或电脑桌面后，思路会清晰很多，对吧？
但我不只指这个，还有洁净的空气和水，因为很多污染物对认知不利。接下来第七点：睡眠。这对很多人来说是大问题。睡眠对大脑至关重要有三个原因。第一，它是短期记忆巩固为长期记忆的地方。
大学里熬过通宵的人都知道，那很伤身，因为你需要睡眠。第二，睡眠能清除导致大脑衰老问题的斑块。最新研究表明，这类斑块与失智症等有关。第三个原因是我们需要做梦。你可能会问：吉姆，这跟其他事有什么关系？你不知道有多少绝妙的创意、发明、文学作品和艺术品都诞生于梦境。你知道吗？就像我提到的玛丽·雪莱，就在伦敦，《弗兰肯斯坦》是她在梦中得到的。保罗·麦卡特尼的《Yesterday》来自梦境；一位化学家在梦中想出元素周期表；伊莱亚斯·豪在梦中发明了缝纫机。对了，你深夜都在梦见什么呢？因为当你整天工作、整天学习时，你的大脑夜里并不会关闭，反而更活跃。人们没意识到这一点：你以为它停下来了，其实它更活跃，会想出解决方案，并把这些整合成梦境。第八条是保护大脑。我合作过很多运动员。
那些高水平运动员，脑震荡可是大事，对吧？我自己也经历过多次脑外伤，也就是创伤性脑损伤，但还不止这些。我做了一整期关于电磁场的节目。人们没意识到，我们的智能设备……
毕竟人类的大脑身边原本并没有这么多电。我最近读到，有90%的孩子睡觉时把手机放在枕头底下。天知道这有什么影响，所以最好避开，保护好大脑，比如戴上头盔。最后是第九条和第十条。保持大脑活力的第九条关键是学习新东西，对吧？神经新生、神经可塑性，也就是神经新生。
哪怕临终那天你都能长出新的脑细胞。科学以前从没这么想过。神经可塑性是说你能建立新的连接。改善神经新生和神经可塑性的方法有两个：新鲜感和营养。就像当运动员、锻炼身体一样：给它新奇的刺激，再用营养喂饱它，对吧？锻炼心智肌肉也是这个道理。最后，第十条：压力管理。压力管理，意思是人们没意识到它，因为它是看不见的。就像你只有在度假或做按摩时，才意识到自己承受了多少压力。你没察觉，因为它一直都在。就像鱼看不见水，因为水一直在身边。那我们该如何应对呢，比如冥想、放松、按摩、瑜伽等等，都能帮你减压。
]]>本文是视频《年少百万身家的Gadzhi：17条我盼你早点知道的人生法则》（作者：Iman Gadzhi）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
我从小没有爸爸。我是独生子。说这个是因为，我要讲十七个人生课，真希望年少时有人告诉我。这些都是我吃苦才明白的，今天分享给你们，让你们少受些年的苦。那些挣扎和迷茫，你听了照做，就能全绕过去。我记了些要点，下面随便聊聊这十七课。第一课，拉长时间线。我知道很难，看我的视频，刷TikTok，看到那些十八岁的，二十出头的百万富翁。我自己也是帮凶，二十三岁就赚了几千万。看到最终成果，就容易想冲，其实真不用。
我错过太多，和朋友聚会、喝啤酒、看球赛。我的童年少年，全都没有。所以记住，拉长时间线。想当百万富翁？好，给自己五年，十年。
不用急。当然能更快致富，就去做。能学高薪技能更好，这个后面再聊。副业变小生意，再变大公司，那就冲。但别给自己压力。别想着一两年就成百万富翁。我也明白，我的路不是常人走的。我攒下的财富不正常。代价也很大，生活不全是美好。看看我二零一五、二零一六年创业初期的视频，一脸挣扎。读书、健身、当独行侠。请记住，看我的视频也好，刷TikTok也好，都不是一夜成功的。我每周读一本书、冥想、健身，快十年了，都在为今天的我打地基。请继续努力，别松劲，但要拉长时间线。时间是你最大的资产。下一课：走路要有目标感。
十五六岁起，我走在街上，一看就是在办事。那是因为方向清晰，知道自己想成为什么。走路不用冲刺，挺起肩膀，目视前方，方向明确，像知道要去哪。下一课：务实，别谈使命。总有人说，我不开始，因为还没找到使命和热情。打住。要务实。年少时你不会知道使命，也不会知道方向。就算到了二十多岁，像我这个阶段，使命也会变。所以要务实，学实用的技能。做务实的生意和职业，去做学徒，哪怕工资低，那不是终点，但很实用。它教你打基础、懂原则，二十多岁就能成功。
下一课非常重要。我知道我在对男生说，我的内容常面向男生，但出于之前说过的原因，我要做内容，培养下一代男性。男生听我说，要成为绅士。这个世界，尤其西方，有些男人行为太恶心。难怪那么多女人不尊重你，你根本不值得尊重。别听那些没在社会混过的家伙说，接送女生、买单就是舔狗。不知道谁养的，他们不算男人。我受的教育是，男人要买单。买不起，我年轻时也这样，那怎么办？就去赚钱。别约女生吃饭。埋头专注。真要请吃饭，就接送她，做绅士该做的。这些事，年轻时学会太重要了。还要懂女生的酒量。
我见过太多蠢货，一杯杯给女生灌酒，明明她已经醉了。我再说一遍，我的家教是：和女生在一起，约会或朋友，你都要负责。要有担当。想当有荣誉、值得尊重的男人，就要学会好好对待女人。
绝不能让她越过你的底线。记住，值得尊重的男人，也绝不容忍别人不尊重你。这个世界，太多男人怕被当成舔狗。买单或接送女生就怕成舔狗，男人绝不能这么想。年少时学会这些原则，它们会伴你一生。再结合其他人生课，你会成为有担当的男人。你会成为让女人尊重的男人。这很管用。接下来，好好享受这段旅程。记住，这是你的黄金岁月。现在十几岁的时光，是你日后会怀念的岁月，因为这是你打基础的年头。你塑造了性格，成为想成为的人。我最难忘的，是十六岁创业前后的那几年。那段日子很苦，不好过。我付出了很多牺牲，当时很难，但现在特别感激。
所以现在若日子艰难，请心怀感激。十年、二十年后，你会一直讲起这段岁月。想想你以后和兄弟坐在海边别墅，抽着雪茄喝着酒，回忆美好时光。如果你还在十几岁，现在就开始投资，一周十块、三十块、五十块都行，哪怕五块也可以。重点不在钱，也不在复利这个世界第八大奇迹。说实话，这个年纪金额不重要。希望几年后，你的收入会远远超过投资赚的钱。说到底就是好习惯。我不信月薪一百舍不得投十块的人，月入十万时会投一万。如果觉得这些数字太夸张，先记在心里就好，别担心，不用急。但这真的会实现。
坚持看这类内容，用一年、三年、五年、十年去打拼，这种收入几乎稳拿。
我知道有人会懵，先放下这些。月入一百，就投十块。这就是养成好的理财习惯。下一课，如果你是青少年，那就是培养高收入技能。比如做内容、做销售，或者文案。二零二三年也好，二零四零年也好，这些技能永远重要。这些技能永远高薪。别追短期的风口和潮流。问自己，今天学这个技能，五年、十年、二十年后还有用吗？如果有，那就值得学。下一课，特别给男生：练肌肉练身材，尤其十六到二十二岁之间。去健身房锻炼吧，分化训练也好，力量举、综合体能都行，随你选。
年少练肌肉，肌肉会记住感觉，这份掌控力能跟你一辈子。我十四岁就开始健身，有人说太早了。但我很庆幸练了肌肉。现在我常打网球、跑步，身体底子还在。还有拳击，我从不担心掉肌肉，因为积累了好几年。尤其男生，二十五岁后睾酮会下降。趁现在举重物，逼自己一把。狠练吧，这个优势能伴你一生。下一课：要自信，但认清自己阅历不足。我十六岁开始创业。那个生意要直面客户，给几百万美元的项目做提案。
要自信出场，形象得体，会说话。我要表达清晰，要自信，不能管年龄多大，还得当着客户的面去做。但一个人静下来时，我明白，就算我二十三岁，全世界几十万甚至上百万人把我当英雄、当榜样、当导师。我明白，说到底自己还有很多要学。我确实起步早，十七岁就有了第一个员工。我十七岁辍学，养活自己和妈妈，这年纪经历够多了。但无论如何。
智慧要靠几十年沉淀。所以年轻人，自信地走下去。别让年龄拖累你，尤其在事业和职业上。但在安静独处时要承认，再成功，智慧也要几十年经历才能炼成。下一课，还是给男生：习惯和女生说话。听着，十几岁到二十五岁左右，确实是打拼的年纪。但哪怕才十五岁，也要习惯和女生聊天。别变成那种千万富翁，可一跟女生相处就让人发毛。在咖啡馆遇到可爱的女生，就主动聊。怕什么呢？最好再夸她一句。别要电话，别要账号。
夸她一句，举手之劳。你要习惯和女生说话，站得住，抬头挺胸，有自信。但别让这事占据生活。二十岁出头，别把女生当目标。男人最好的年纪，是二十七八到三十七八。但要学会和异性相处。下一课：说话算数，从小做起。你说生意里分给人多少，答应的分成就给。答应到场就要到场。你说话算数，就是名声。名声是你最重要的东西。从小守信用，能换来信任和尊重，受用一辈子。下一课，主要对男生说。二十几岁，不管早中晚，都是打基础的年头。这几年就是用来打拼的。做对了，二十几岁决定你后半辈子。这视频给年轻人看的。重点是，二十几岁要有心理准备，这是成或败的关键期。下一课：多说不行，少说行。别人约你出去玩，敢拒绝。生意机会，也敢拒绝。你总有这种朋友，看个视频就想合伙五五分。可直觉告诉你，他不靠谱，我自己就能干。
自己干就行。学会说不，守住立场。告诉你，说行毁掉的人，比说不多得多。多少人随便答应恋爱，掉进坑里。
有人不该创业答应了，有人不该出去玩也答应了。学会拒绝，是年轻时最值钱的本事之一。下一课：学会穿衣服。学会挑好衣服。我穿印花T恤，是因为在家放松。出门就得体面点，别追大牌。等你找到自己的风格，再慢慢升级。可以玩点花样。但先学会挑合身的衣服，不紧不松。很多人衣服买太紧。说个好玩的事。这些年我发现，特别是裤子，赚得越多，裤腰越松。认识的大富豪基本都是这样。所以要学会挑没牌子、合身、又合你风格的衣服，学会叠穿，还要学会找人改衣。三四十块买的裤子，拿去改，改衣费十五块。或者二三十。是多了点开销，但比花几百块买大牌的人，好看多了。
十几岁学会穿衣很重要。风格以后自然会变，不用急。先学基本款，学经典款，穿得体面优雅就行。以后有钱了，再加点印花T恤、好看的配饰，随你喜欢。现在就穿简单经典款。下一课：学会守住底线。这大概是我能成功的最大原因之一。可能因为我妈是俄罗斯人。他们说不就不，底线特别硬。也许家教就这样。我很小就懂，对朋友、对感情都要有底线。这点从小保持到现在。可以说，我的朋友、我的合作伙伴。
公司同事、恋爱对象，都互相尊重，懂彼此的底线。这一切都靠从小学会说不，跟身边的人守好底线，慢慢攒出来的。下一件事，有人是无神论，可能想翻白眼。信什么随你。要跟造物主建立联系。不管你信什么教，心里有信仰就行。但要跟造物主建立联系。好好活着，你会遇到人生最高峰，也会跌到最低谷。
最惨的人生，是一条直线。照这些道理去做，你的人生就有大起大落。这才是好人生。撑过这些时刻，只有靠造物主让你谦卑。这就是说，要知道有比你更大的存在。人生这么颠簸，想熬过去，只能跟造物主紧紧相连。我六七岁就开始祈祷，因为童年太难了。有趣的是，跟造物主没联系的人，往往是那种人：不闯、不冒险、不为自己想要的生活拼过。怪的是，变无神论的总是他们。以我经验，人生会疯起来。顺境逆境，想保持清醒，就得跟神、跟造物主有关系，随你怎么叫。最后一条，也可以说是最重要的一课：掌控自己的人生。遇到好事，很好。
你要负责，也归功造物主。遇到坏事也一样，担起责任。彻底掌控你的人生。别找借口。只能怪你自己。我知道有时很难。我知道，有时总有明显的人或事，让你怪到别人头上。别掉进这个陷阱。如我所说，彻底掌控你人生中的一切。各位，我真心相信，如果你正在看这个，还是十几岁或二十出头，照这十七条去做，你会活得富足，活得体面，好到做梦都想不到，难以想象。一如既往，我在远方为你加油。
]]>本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第04讲：自由标量场论的正则量子化》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
好。
上次我们把这个理论量子化了，我再把理论写一遍。
已量子化了。接着写下它的正则动量密度，然后哈密顿密度就是。嗯，平方。
好，还有经典运动方程。
量子化步骤不重复了，量子层面最一般的解已写出。
写成如下。
这个因子是约定写法，然后有个 a k，好，加上。从现在起我省略帽子符号，不再写帽子了。你要始终把它看成量子场、量子算符，明白吗。停。
u k 是完备解系。
写成 e 的负 i omega t 次方。
这就是解的基。
这就是算符 phi 的算符方程的完整解。还能求它的共轭动量密度 pi，直接求导就行。我就不显写了。
接着讨论了，可以施加正则对易关系。也就是。pi x 跟。
x 一撇，也可以选 pi k x 和pi k x 一撇等于零。然后 pi k x。
x 一撇，由德尔塔给出。
上次课最后就讲了这些。
把这些表达式代进来，就能得到那些积分常数的对易关系。a k 和 a k dagger 是积分常数，是常算符，好。代进去就得到正则，得到 a k 和 a dagger 的对易关系。
a k 和 a k 一撇等于。
还有 a dagger k 和 a dagger k 一撇等于零。而 a k 一撇 dagger 等于一个德尔塔函数。波矢空间的，好。
那么。看这些式子，它们基本上就是，我们其实找到无穷多个谐振子。每个谐振子用一组连续数 k 来标记。对易关系就是标准的 a、a dagger 关系的连续推广。
因为德尔塔函数，它们互相独立。k 不等于 k 一撇时，对易为零。
这样图景就更清楚了。确实，我们得到无穷多个谐振子。这些只是对易关系。还不能说明真有谐振子。要看谐振子，得算哈密顿量。
现在来试着算哈密顿量。
现在来算哈密顿量。
这个很简单，直接算就行。
很简单，直接代进去。
把那个表达式代进去，用上面的式子。然后把 phi 和 pi 的表达式代入那个方程，然后直接算就行，细节我们再过一遍。
对，这个计算很简单。然后就得到，嗯，可能过几分钟。
就得到这个结果。代进去之后你会发现，可以做空间积分，因为只剩平面波。直接做空间积分，积出来就是德尔塔函数，还有动量空间等等。最后都化成一个对 k 的积分。然后你会发现，得到的是欧米伽k。
然后是 ak dagger ak。
再加一项。
比如 ak ak dagger。让我看看。嗯，其实，嗯，我想应该是二分之一。
就这样。
好，这就是谐振子的标准表达式，对吧？其实完全一样，就是把连续情形直接求和加起来。就是谐振子。每个频率是欧米伽k，每个振子都用k来标记，对吧？然后用标准技巧，把它改写成一个对易子的形式。
写成对每个k求和。
就得到这个。
把这两项合并，引入一个对易子。写成a dagger a，加上对易项。
就这样。按标准的说法，它等于一。就得到标准答案：欧米伽乘a dagger a，再加二分之一，对吧？但在这里，我们再来一步，我多写一步。所以这是对k的欧米伽k。
ak dagger ak，然后加上E0。E0就是全部振子零点能之和。
就是二分之一欧米伽k。
但麻烦在这儿。
注意，ak和ak dagger的对易。标准时等于一，但这里，当k撇等于k时，就得到德尔塔零。也就是德尔塔零。于是我们得到，两派立方乘德尔塔三零。记住，这个零在动量空间，也就是k空间。我们有两种德尔塔函数。k空间的德尔塔函数，和坐标空间的。
我在这里加下标k，指这是k空间的德尔塔零。
这就是零点能。
这个零点能是发散的，不过我们稍后再讨论它。有问题吗？
好，说明一下。
就提几点。
第一点，有个有趣的事发生了。
看phi和派的表达式，phi和派都明显含时间。这里有时间项。而这里，只对空间方向积分。对，只积空间方向。积分完全不碰时间。但你注意到什么了？
发现了吗？
不是扔掉时间，它是自己消失的。为什么？
哈密顿量里，phi依赖时间，派也依赖时间。把这些式子代入——这里面的项明显依赖时间，这一项也明显依赖时间。
但做完空间积分后，你会发现时间依赖在计算中抵消了。
猜猜为什么该抵消？能量守恒？对，正是。你们之前处理过时间平移，系统有时间平移对称性。这意味着H应该守恒，是个守恒量。
确实，它不依赖时间，是守恒量。我们明确看到了，没有时间依赖，因为——。
H是守恒量。所以这个积分非常关键。
因为不做积分，这个。哈密顿密度不守恒，总量才守恒。
好，这是点评。
第二点，嗯，再一点。
只有两点评注，就编成一和二吧。第二点，重复一下，我们之前说过：我们刚才处理了phi。我们看到这个处理化成了——。本质上就是一套。
无穷连续的。
谐振子，因为由k标记的，就是。
频率欧米伽k。
我们定义欧米伽k等于k平方加m平方。
那么。
就像我们上次说的。
看到无穷多个谐振子，其实并不奇怪，因为这个场论可以写成。可以看成一串原子，比如用弹簧连起来的，取连续极限，对吧？有了链，我们画的是一维系统，但很容易推广到二维三维。对。弹簧连起的原子链，就是耦合振子。对角化后，求出本征谱，每个模式都是一个谐振子。
用傅里叶变换找到那些解时，本质上就是把弹簧间的相互作用对角化，对吧？所以才得到无穷多个谐振子。从这个角度想，得到无穷多谐振子完全不奇怪。但从场论角度想就有点意外了。当你把场论量子化，最后发现得到一堆谐振子。
在真正做量子化之前，其实很难预料。如果没有分立系统的直觉，就很难想到。
有问题吗？好。你说无穷多谐振子，是指空间任一点有无穷多个吗？还是说连续的每个点各是一个谐振子？对对对，问得很好。就是每个点上都有一个谐振子。对，每个点。本质上每个点一个谐振子，它们在空间连起来。
问一下，为什么不算E零？里面有个德尔塔函数啊。抱歉，再说一遍？就是积分E零等于……为什么不算？哦，这个积分我们做不了。不，上面那个。零点能。哦对，对。这个我们之后会讲，等一下会稍微展开说一下，因为我们要试着给这个结果一个物理解释。
问一下。作业一里a帽是随时间变的，这里a帽不随时间变吗？所以哈密顿量不变？对，a帽是常数算符。对，因为a帽是方程的积分常数，所以不随时间变。
是的。
对对对，那就是相干态的类比。
可以可以，会的，你后面就会看到。讲到希尔伯特空间时，就更清楚了。
还有吗？
好，很好，很好。
现在，讲希尔伯特空间之前，这里我们先得讲两件事。
这里有个点。第二件事，哈密顿量很重要。它是守恒量之一。所以呢，守恒量有这些。
还有别的守恒量。其中一个是空间平移对应的守恒量。空间平移给你守恒的动量，也就是动量守恒。
从空间平移出发。
就能得到这个守恒荷，Pi。
这个作业里应该算过。它长这样。
这 3 个 Pi。
好，这就是空间平移对应守恒量的那个荷，明白吧？把它看作时空动量。
它应该理解为时空动量。
所以这里有两个动量，你别。
搞混它们。这个 Pi 是这个正则变量的共轭动量。也就是说，Pi 是共轭于场变量 phi 的正则动量。而这是普遍的物理时空动量，是整个物理系统的动量。
同样，直接代进去就行。
把 Pi 和 phi 的表达式代进去，它们的演化我们已经知道。已知它们的演化了，直接代入。
然后你就会发现答案是，经过一些。计算和变换之后，就得到这个答案。
这种情况下没有零点能，只有这个式子，好。
另外还有洛伦兹变换，也就是洛伦兹对称性。
由此得到洛伦兹变换对应的守恒荷。同样你能把它明确写出来，好。习题里你们要找出这个 mu nu 量的表达式，用 phi 和 Pi 来写。
然后还能用 a 和 a dagger 把它写出来。不过我没胆量把它放进习题，就当成附加题了。因为那个计算要多算一点东西。对，就是稍微繁琐一点。想多玩玩的同学可以做这道附加题。
总之，这些在习题里就能看到。
好，接着再看，这个 Pi，明显不随时间变。跟时间无关。
好，下一件事，我们来聊聊零点能。
这个零点能可以写成下面这样。
这是个常数。
可以把它提到 k 积分号外面。它不依赖 k，对吧。这就是 2 pi 三次方德尔塔 3 0。记住，这是 k 空间的德尔塔函数。还有这个 3k。
这就是结果。
现在来理解这一项的意思。
我们来理解这一项的意思，得用一点数学小技巧。回忆一下德尔塔函数的定义。
二派立方乘德尔塔3k，等于傅里叶变换。
指数i k x的。这基本上就是德尔塔函数的定义。
现在取k等于零，咱们把这里的k设为零。于是得到二派立方德尔塔零。再记住k空间里的这个。把这里的k取成零，这是多少？取k等于零，得到什么？对吧？体积，对，就是整个空间的体积。
整个空间的体积。大家想象一下，为了理解这个量，可以把整个宇宙装进大盒子里。想象宇宙装进盒子，这就是总体积。
既然这是体积，这个量就有了很好的解释。现在可以把E零写成实际体积乘伊普西隆零。这个伊普西隆零，就是能量密度。
这是能量密度。
这个能量密度还能再写一步。接着往下写，代入omega k的具体值，再写一步。这就是二分之一。
抱歉，我漏了个派。
对k积分dk，还有k平方。
对，就得到这个。
这积分怎么样？
嗯。
抱歉，再说一遍，你说什么？
嗯。德尔塔函数对所有k都是一？不，这是常数。积分里有常数，总能提出来。德尔塔零跟k无关了。
好，这积分怎么样？能算吗？
好，这个积分算不出来，因为它是发散的。
这个发散在物理上是很有道理的。
这就是能量密度。基本上就是单位体积的能量。
比如说在某个体积里，想象这里有一个单位体积。
记住。
记得吗，这对应取一个离散系统，格点间距是a，然后取这个格子，每个格点上有个谐振子，再把格点间距a取成零。也就是说，a取零时，任何单位体积里都有无限多个振子，对吧？就是每个点上都有振子，组成格点，算了，我不画图了。当间距a趋于零，任何单位体积里振子数都会趋于无穷。发散就是这么来的。因为场论里自由度是连续的。每个点上都有自由度，任何体积里自由度必然无限。这是因为。
自由度是连续的。这是你们第一次见到场论里的发散量。但你很快会发现，这很正常，太正常了。以后发散会经常见到，习以为常。
因为自由度是连续的。
整个量子场论，就是想办法处理这些发散。场论和自由度有限的量子力学，关键区别之一就是这些发散。场论很大一部分就是学怎么处理发散。其实它们不影响物理。但你得发明一些精巧的技巧来对付它们。
懂吗？
这个无限的结果。还跟一个非常出名的问题有关，叫宇宙学常数问题。
因为这说明，任何场论都有无限的零点能。你可能会说，每当看到无穷大。
总有个惯用的处理办法。你们猜猜看到无穷该怎么做？
对，这是个思路。但减无穷很难。微积分课上，无穷减无穷还可能是无穷，对吧？所以必须非常小心。对，确实是这样。但要做这些，得先做一件事。对。
对，很接近了。你们得先做。
对，得先想办法让它变成有限。然后再做减法。就像一加二分之一加三分之一，这是个无穷级数。会得到发散，但你可以截断级数，再用有限的结果近似。这里类似，我们总要加个动量截断，比如设动量小于某个值。比如某个值lambda。它对应场论不再适用的尺度。没人说场论在任何尺度都适用。比如在这个格点模型里。
这个尺度就是格距的倒数，一除以格距。总之截断之后，数还是很大。但不能忽略，这是物理的零点能，原则上能测到。可现实中我们看不到。量子场无处不在，却看不到这么大的真空能。这就是宇宙学常数问题。上周刚好有个讲座，就是讲宇宙学常数问题的。
有问题？
来讲希尔伯特空间。
就像谐振子那样。我们可以先定义真空态。接下来要做的就是。
量子场论里。
这个E零就可以忽略。
从现在起，我们就忽略这个E零。因为它只是个常数，起不到任何作用。就像电磁学里的势能，对，就像那个单位，总之就这样吧。从现在起忽略这一项。
哈密顿量我只写这一项。
稍后我们会看到例子，这个E零其实可能有物理意义。不过目前就先忽略它。
最低能量态从这里看就很清楚。因为它只是个常数。所以最低能量态，就是基态。
我们常叫它真空态。意思是里面什么都没有。定义就是对任意k，ak作用在零态上等于零。
所以基态，我们记作零态，它满足被这个ak湮灭。接下来，一般的态具有下面的形式。
比如k一振子激发n次，k二振子激发n次。然后k二振子激发若干次，依此类推。正比于，比如说，ak一dagger的n次方，再乘上ak二dagger的n次方等等，作用在零态上。好。就像我们有一大堆谐振子。
对吧？嗯。
这里有问题吗？请讲。
是假设？对，是假设，但你其实可以把它写下来，写出它的波函数。就像标准谐振子的情形，你可以从adagger那些方程出发。从这个方程能写出波函数，这里也能用phi写出真空的波函数。
嗯。
这里？对，我这里只是说，看激发的是哪些k。
这个问题问得好，相关的我马上讲。这里我只是写下一些态。
对，我激发k一、k二。我不是说这个就是。
想加多少个都行。
没错，是这样的。我这样写，意味着我只激发可数个。但原则上，我们马上就会讲到跟你问题相关的地方。还有吗？
好。
比如最简单的激发态，就是只激发一个。
我把它记作k。
其次最简单的，就是激发两个。
这里k一和k二可以相同。相同时，就像平方那样。
这里我也不太在意归一化。
现在我们问，这些态啥物理意义？那我们现在来问，物理意义是什么？
为了这个。
我们可以看。比如说，哈密顿量和时空动量下的量子数。量子。
比如说，把 H 作用到零态上，当然得到零，假设我们扔掉 E0。先忽略这个 E0。
基态呢，P 作用在零态上，当然是零。因为这里有个 k。E 也一样，扔掉后就是这样。
现在看激发态。
看这个态。
H 作用于 k。答案很明显，各个振子相互独立，直接给出对 k 的。直接用谐振子的老结果。
对吧？再看动量。
这是时空动量算符，作用在这里。本征值是 k i。看这个式子。
好，把这个作用到那个上面。
好，让它作用上去。
算对易子时用标准技巧，就选出特定的那个 k。本征值就是那个 k i。中间有一步计算，你们自己算。一分钟搞定。
会产生一个 delta 函数，消掉那个积分，就挑出这个 k i。
这个方程现在有明显的物理意义。
也就是说，这个 k 态有时空动量。写成四动量，欧米伽 k 和 k。
这正是相对论粒子在壳的动量，对吧？这就是相对论性的……这是一个相对论性粒子的。
动量。
因为欧米伽 k 等于 k 平方加 m 平方，质量 m。
对吧？就是说，p 平方，这是四矢量平方，满足 p 平方等于负 m 平方。
所以很自然，把它看成质量 m 的粒子。
就把它当成质量 m 的粒子。
好。现在来看这个。同样，计算非常简单。你会得到。
这个态，k一，k二。
你会发现能量就是刚定义的。这就是H的能量本征态。它是H的本征态，能量本征值是欧米伽k一加欧米伽k二。
它还是动量算符Pi的本征态，本征值等于k一加k二。对吧？
所以Ek是本征值。
属于H和P，对吧？
嗯，那可能吗？
这里质量不是零，对吧？欧米伽k就是这么定义的，由理论、拉格朗日量定的。对，由拉格朗日量决定。这是你作用量里的参数，对吧？那么。
一样吗？
对，均匀。
每个k都是均匀的。当然，加在一起就非常复杂了。但每个k都均匀。
所以最自然的理解就是。就是，有两个粒子。
动量。
四维动量是欧米伽k一、k一，和欧米伽k二。
k二。
同样地，对任何这样的态都能这么做。
它们都是。H和P的本征矢。比如n k一。
n k二。
等等。这个态对应n k一个粒子。
动量。
都在壳上。在壳粒子，动量k一。同样，n k二就是有n k二个动量k二的粒子。好。
这说明了一点。现在我来做几点说明。
开讲之前，有问题吗？
好。第一点，你们可以看到，它能描述任意多个粒子。
在我们的描述里，数学上它们是谐振子，每次激发从时空看对应一个粒子。好，这就是这个理论美妙之处。
然后由于。对易关系，ak1 dagger、ak2 dagger 对任意 k1 k2 都等于零。
所以有交换对称性。构造态时，你可以随意对调顺序。这意味着对称性。
任意调换所有不同粒子。
之中。
这说明这些是玻色子。
玻色子。
好。
第二，所有粒子都有。
正能量。
好，尽管E平方等于。
K平方加M平方，方程有两个解，正负欧米伽K。但看物理态时，看实际的态，所有粒子都有物理能量。好，开方带来的负能量问题就没有了。
还有，一个态的总能量。
等于所有粒子能量之。
和。
这说明它们之间没有相互作用。因为粒子间会有势能，势能会改变能量。把两个粒子放一起，总能量就不再等于各自能量之和。说明没有相互作用。所以这是一系列自由粒子。
这是好的起点。
至少现在有粒子了。
有吗？请说。现在。
有办法改变这个吗。再作用一次，就像又有一个粒子。不行，粒子的动量没法改变。产生之后，它就直线走。对，那个粒子动量不再变化，是守恒的。如果你想改变它。
有办法的。讲完这个自由理论，再看下一个简单理论，就能引入相互作用。有了相互作用，动量就能变了。好，关于这个。
对，这些是动量，就像非相对论里的平面波。如果你想让它。
动。对易关系都不变，因为全都由 a k 组成，一直是对易的。但之后会讲空间定域的波包。有问题吗？
好。
最后我们来聊一下。一个技术性问题。
到目前为止我们还没讲过。这种态的归一化。现在看态的归一化。
先看这些态。
这个单粒子态，看它的归一化。
看 k 和 k 撇的情况。
把它和 k 撇做重叠，就能化成 a k 和 a k 撇达格的对易子。就得到这个结果。这就是个五秒的小计算。做一下重叠，就得到德尔塔。
习题集里你们做过。
但这个量其实不是洛伦兹不变的。它在洛伦兹变换下性质不好。但我们构造态时，希望态在洛伦兹变换下性质好。所以我们改用一种不同的归一化。所以不用原来的态，我们定义下面这种态。新的 k 不带向量记号。
它等于根号二欧米伽 k，再乘上这个 k。
也就是根号二欧米伽。k。
a k 达格作用在真空上。
现在算这个 k 和 k 撇的重叠。这里会有根号因子，这边一个根号欧米伽 k，那边一个，再乘上二欧米伽 k。
加上二π立方，三维德尔塔 k 减 k 撇。
这个对象你们习题里见过。乘上欧米伽 k 后，就有好的洛伦兹变换性质。所以它在洛伦兹变换下变换得很漂亮。以后我们就一直用这个归一化。
这些态有很好的。
你们可以证明，这会在习题三里，值得期待。可以证明。
做洛伦兹变换，lambda 是洛伦兹变换，u lambda 是生成它的量子算符，作用在态 k 上，就得到 lambda k，也就是变换后的 k。就是变换后的 k。好。
对，你们到时候看习题三。
好，如果我没记错的话。
有问题吗？
对，对。
好。
这有个函数。对，因为欧米伽k只依赖空间部分。
还有问题吗？对，你问这个？
不，说的是这个东西。不是洛伦兹不变，是不协变。你一变换，就是这个对象，你变换它时特别别扭。不是说你不能变换，你可以写出它的变换式。它变换得不漂亮。如果它不漂亮，就说明每个分量都不漂亮，用起来就不方便。这个量有个好性质，作用在它上面，就直接对应动量经过洛伦兹变换的那个态。对，很方便。但这性质对它、对这个k都不适用。
好。
所以呢，我们还可以谈波包。这个就是平面波。这就是平面波，是动量本征态。也可以考虑一般的。
单粒子态，形式如下。
可以写成psi，就是这些k的叠加。只需对空间动量积分，因为只有空间动量是独立的。
再乘上一个任意的k函数，作用在这个k上。任何单粒子态都能这么写。
特别是。
选好合适的fk，就能构造局域的波包，好吗？
所以你可以选k，选好fk来。
构造一个。
在空间中局域化的波包，好吗？
再强调一次，你们的作业里会有类似的练习，比如，在你们作业里。
当我把这叫两粒子态。
因为每个都是平面波，本来就不局域，铺满整个空间，对吧？某种意义上对应两个粒子。现在你能解这题了。比如说，构造的时候用。
dk1。
二派立方，dk2。所以。
选好合适的k1、k2函数。
k1、k2。
你就可以构造出两个。
相距很远的波包，好吗，离得很远。
在空间里。
这样就能真正谈论一般的两粒子态了，好吗？这就确认了，这个东西应该理解成两粒子态的平面波版本。好的。
有问题？
请说。
好，好，这问题很好。确实，你们的习题集三里有道题，让你证明不存在本征态，也找不到那样的本征态。在非相对论量子力学里，你有这样的波函数，可以把它定域到一点。但在相对论情形下，就没有这种态的对应了，正因为位置算符不再存在。这个你们以后可以自己再探索，用这套框架，这些问题都能自己研究。
关键就在这，其实你们已经有能力做到。
现在再多说说希尔伯特空间的结构。这里的希尔伯特空间结构有点特殊，因为。
没相互作用。
整个希尔伯特空间可以拆开，我写成花体的H。第一块是真空态，然后是单粒子的空间，再是双粒子的空间。这些块互不相干，因为没有相互作用，对吧？
原则上可以有无穷多个这样的空间。
如果我们限定，粒子数总是有限的，好吧？这些态的集合。
这是单粒子的。
这是双粒子的，等等。也就是粒子数有限的那些态。
叫福克空间。
在福克空间里，只有粒子数有限的态。但粒子数可以任意多，要多大有多大。一百亿，一千亿，但总是有限的。
最后说一下。
这些k。
不管这个k还是那个k，都只是平面波归一化，因为用德尔塔函数归一。严格说，它们不是可归一化的态。严格说不属于物理希尔伯特空间。所以严格来说，这个k，或者随便哪个这样的k态，或者k1、k2，不可归一化，只是平面波归一。
这就好比。
比如，psi 等于 e 的 i k x 次方。在非相对论量子力学里。
这些平面波也一样，不可归一化。但它们方便做各种数学运算，但并不对应一般的物理态。所以一般来说，它们不是真正的物理态。
至于。
物理态的话，我们就要考虑，比如这一类态，然后选好fk，让它可归一化。
那取这个。
然后呢，我们就可以。
psi 由它给出。
psi 的归一化。
你可以算出来。等于这个。
你很容易就能猜到答案。做重叠积分后，你会发现它等于 fk 的模平方。
你算一下这个态的范数，就得到这个。让它取有限值，psi 就是可归一化的态。
所以因为这个原因。
我们不常这么做的。有时你可以只选一组 fx 作基。
比如，fi。
i 取一些数。这个 alpha，可以定义 alpha i。
好。然后这个就会给出，alpha i 会构成所有的，这就是单粒子的基，或者说，单粒子态的基。说个好玩的事，跟刚才有人问的问题有关。实际上。
这里呢，看这个 k。
这些 k 构成一个基。我们只看单粒子态。实际上，这些 k 构成连续统，不可数连续统的基，对吧？不可数的连续统。但一旦加上可归一化条件，你就得选可归一化的 f。可以证明，这些可归一化 f 的基其实是可数的。所以到最后，单粒子希尔伯特空间其实是由可数基生成的。跟你平常的量子力学一样。一旦限制可归一性，就不再是 k 那种不可数的基了。这是个数学事实。
好，这部分有问题吗？
好，那么最后几分钟。
我们。
讲讲守恒荷，好吧？
量子。
这是荷的 rho。
经典上。
我们说，如果作用量在某变换下不变，某个连续变换下不变，比如无穷小形式。
alpha 是无穷小参数。
alpha 标记不同的变换，A 标记不同的场。你会得到守恒流，j mu 由这个 alpha 标记。
alpha 标记不同的对称性，每个对称性都对应一个守恒流，它满足 j mu alpha 等于 0。对吧？阿尔法取1、2等，标记不同对称性。
好。然后就能写下诺特流。我们推导出一般公式，诺特流是这个形式，L的偏导。
phi a的mu偏导，再乘上f a阿尔法。这跟之前基本一样，就是多了个阿尔法指标，标记多种对称性。再减去k mu阿尔法。k mu阿尔法是个导数。就是全导数。假设德尔塔L，等于伊普西隆阿尔法乘k mu阿尔法的mu偏导。所以k mu阿尔法是全导数，对应那个变换。
而q阿尔法，就是这个流对应的守恒荷，零分量。
这是经典的图像。现在我对每个阿尔法，用了更一般的记号。
关键来了。
是在量子层面。那么。
量子层面。
首先像哈密顿量和动量算符那样，q阿尔法不随时间变。
是常数算符。
这反映它是守恒的。
另外q还有个重要性质。
就是q阿尔法作用在场上时，看它和场的对易子，它会生成。
这种变换。
结果是这样。
好，这里放个参数伊普西隆阿尔法。
对q来说，指标放上标下标都行，然后你就得到。
对吧？这样就对phi生成了那个变换。好，这可以明确证出来。
这个可以明确证出来。不过时间快到了。用这个式子就行。我快速说一下证明思路。
比如说。
来看这个j的零分量。
那j的零分量呢。
就等于L的偏导，对时间0求phi a的偏导，再乘f a阿尔法。
那我们来考虑。
嗯，我看今天时间不够讲完了，那这个就留到下次再讲吧。我只提一句，量子层面它会生成无穷小变换。这个q也能这样写，好，可以引入指数i lambda q。如果q是守恒荷，然后你可以把q写成这样，这个算符就会生成。
它作用在phi上。
就生成有限变换。
这样就把phi变成phi一撇，也就是有限变换。总之，对于psi 2，你们实际上会自己动手验证几个简单的例子。你们会发现，这确实管用。下一节课，我们会给你们一个简单推导，证明这确实成立。好，一般情况下都成立。
]]>本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第03讲：为什么需要量子场论》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
都懂了吗？上一讲我们讲了诺特定理。每个对称性，每个连续对称性，都有对应的守恒流。然后我们也开始讲相对论性量子力学，就是要把狭义相对论和量子力学统一起来。好。最直接的想法，就是相对论性量子力学。最直接的。
薛定谔方程的推广。比如。
上一讲最后，我们讲了薛定谔方程最直接的推广。就是说，如果E等于P平方除以二M，在非相对论性量子力学里，就得到薛定谔方程，对吧？
如果相对论性粒子，E方等于P方加M方，那就得到克莱因-戈登方程。
这里的psi，指的是波函数。它描述的是，做了这个推广，就是要描述相对论性自由粒子的量子力学。质量为M，对，M。这里的psi tx，就是波函数。
一个相对论性粒子的。
相对论性粒子，质量是。
M。
我们还注意到，这个方程其实和最简单的场论方程，形式一样。我们也讲了最简单的标量。
场论，经典的。这就是一个简单的经典标量场论。
这个理论的作用量，可以写成。
如下形式。
这是你能写下的最简单的理论，而且相对论不变。运动方程呢，把它当成经典场。它的运动方程，形式和这个方程一模一样。但现在这里的phi，它同样是tx的函数，但物理解释完全不同了，这里是经典场。
对，这是经典场。所以在这种情况下，这里x的含义，这里就大不一样了。不只是phi和psi的物理解释不同，这里x的含义也不同。这个x只是个标签，标着场在空间的位置。场就定义在这些位置上。但在量子力学这边，x是这个相对论性粒子的位置算符的本征值。解释完全不同。
我把这个方程标成一，这个标成二，这个标成二撇。
我们还提过，这个可以理解为相对论性粒子的波函数。
但作为相对论性量子力学方程，它有不少困难。
第一个问题是，你们会在PSI2里证明，没办法合理地。
定义一个。
正定的。
概率密度。所以如果你想把它解释为。
成波动方程，就必须有概率密度。因为量子力学里概率要守恒。
第二个困难是存在负能量态。因为那个平方。开方时会出负号，就有负能量态了。这在量子力学里躲不掉，虽然经典上可以人为扔掉。第三点我们最后提过。
对于相对论性波动方程来说，你只能描述固定的。
粒子数。
所以粒子数不能变。这个方程只描述单个粒子。要描述两个粒子，就得为另一个波函数单独写方程。双粒子波函数就是这样，以此类推。但这在相对论体系里说不通。因为我们知道，相对论里 E 等于 mc 平方。
无论如何，只要能量够，就能产生粒子。这意味着粒子数在给定过程中不守恒，对吧？所以想用量子力学描述一个过程，就不能用粒子数固定、改不了的框架。这其实是最根本的困难：粒子数没法改变。与这个困难相关的，是解释的问题。
我们说，这里 t 和 x 之间，存在一个根本的不对称。好，也许我把它算作第四点。
另一个困难是根本性的不对称。
介于 t和 x 之间。
在这个波动方程里，t 只是描述演化用的参数，而 x 则是。
量子算符的本征值。比如加上帽子，就代表对应的量子算符。对，这是位置算符的本征值。这种不对称更明显：两个粒子有两个 x，却只有一个 t。
由于这些根本困难，把这四个困难连起来。
我们就可以得出结论，相对论性量子力学，也就是写下波动方程，那这个波函数呢，就不能是根本的。
描述。相对论性量子力学就指这类波动方程。
它顶多只能是种近似。
就是说。
这只是在某些。
情形下。
假设没有。
粒子的产生或湮灭。
所以在粒子数固定的情形。
这时可以用它做近似，但它不能作为基本的描述。比如后面我们会讲这个波动方程的费米子版本。它描述的是无自旋粒子。后面我们会讲电子的狄拉克方程，自旋二分之一。只要不产生新电子，它确实能描述氢原子里的电子。总之，量子力学只能算一种近似描述。但现在如果你想统一狭义。
相对论和量子力学，正确的框架就是量子场论。事实证明量子场论能解决这些困难。
正确的做法是这样的。如果你想描述量子力学，比如描述质量为 m 的相对论性粒子，这正是我们这里想做的，正确的做法，乍看不太直观，是从这个场论出发。它看似和相对论性粒子无关。先从这个经典场论出发，再量子化。结果表明，把它当量子场论来处理，它就成了描述任意数目质量为 m 的相对论性粒子的理论。
这就是不直观的地方，这正是场论的奇妙之处，它自动给出了处理任意多粒子的框架。标记。
而且还有一点。
在场论里，t 和 x 都是参数，即使 x 只标记位置。所以 t 和 x 都是参数，这样很容易让它们平起平坐，和狭义相对论兼容，对吧？
好。有问题吗？
我们会看到正确的框架就是量子场论，对吧？
最后，作为量子场论的最后一个动机，我们简单讲讲最后一点。场论还可以。
作为离散系统的极限。
对吧？这最常出现在凝聚态物理里。
我们来看一个8.03课里的例子，好吗？想象链上有一系列粒子，也就是一排原子，好吗？原子之间用弹簧连接。
把它当成无限长，间距设为 a，好吗？
原子位于一些格点上，晶格间距是 a，好吗？
我们可以用位置标记每个粒子。比如这是 x0，这是 x1，这是 x2，等等，好吗？一般的粒子记作 xn。
第 n 个粒子的位置是 x n，我们还可以引入偏差也就是偏离平衡位置的量，记作 eta n。
现在来看这个理论中 eta n 的动力学。这是第 n 个粒子偏离平衡的量，x n0 是它的平衡位置。写下这个系统的拉格朗日量，我们很容易就能写成 t 减 v。t 是动能。v 是势能。可以写成对所有粒子求和。假设它们质量相同，写成 mu 乘 eta n 点的平方，这是动能项。mu 是每个粒子的质量。
势能呢，我们假设每个位置上还有一点相互作用，因为粒子被弹簧连着，之间有简谐力。
在相邻粒子之间。
再想象每个位置还有一个简谐势，把粒子本身困住。这就是个很简单的弹簧粒子问题，八零三里学过。清楚吧？
我想你们多数人见过。八零三的任务，其实就是求这系统的简正模式。
八零三里还讲过，取 a 趋于零的极限，比如晶格间距很小，而且你只关心远大于 a 的大尺度行为，就可以把系统当成连续体，不必逐个看粒子。取 a 趋零极限，就能把这条链当成。
连续介质。
好吗？这样每个 eta n t，就换成 eta x t。x 标记位置，x 是位置，t 描述演化。eta 是 x 处的偏差，还随时间变。这就是振子。
拉格朗日量里对 n 求和，可以换成对 dx 的积分。
把它当成一维连续体，就是 dx 的积分。当然这里有个标记。因为晶格间距是 a，这里的微元就是 a。a 乘以对 n 求和，换成 dx。
a 是晶格间距。现在就能用连续理论来写出这个拉格朗日量。
写成连续理论的拉格朗日量，动手算。好，我再多写一步，写成 a 乘上求和。把 a 提出来，因为换成积分需要它。就是二分之一 mu 比 a，eta n 点平方。
减一半 lambda a。
我只是稍微改写这个。
拉格朗日量，方便取连续极限。得把 a 提出来。但对这一项，因为它能感知两者的差，分母要除以a，分子就要乘a，前面还有一个a。取连续极限时，把它换成积分就行。
然后你就。
可以写成二分之一mu波浪eta点的平方，eta n就换成eta x t。
这里我记作lambda波浪乘eta对x偏导的平方，这一项就换成eta的导数。这就变成二分之一sigma波浪eta平方。好吗？这个mu波浪，当然，是mu除以a。lambda波浪是lambda乘a，sigma。
波浪是sigma除以a。连续极限要求这些量不变，波浪量要固定。这样就有连续的拉格朗日量，得到一个经典场论。这理论跟那个理论。
基本一样。好，我们把mu波浪这个因子提到前面来。
只差一个整体因子而已。lambda波浪除以mu波浪，叫v平方。sigma波浪除以mu波浪是m平方。v平方就是lambda波浪除以mu波浪，对吧。m平方等于sigma波浪除以mu波浪。好吗？
这就跟那个理论基本一样。
当v等于1时，只要v是1。
两者就一样了，这就是方程二。这个v对应相对论情形的光速，但一般情况下它。
取别的值就是非相对论性场论。
这个例子虽然非常简单，但它其实是处理很多凝聚态体系的通用方法。它们常涉及晶格，比如说固体，可以想象所有原子都排在格点上，等等。如果只关心宏观行为，就可以把固体看成连续体。如果想研究这个系统的量子力学，量子场论就自然出现了。
好，这例子有问题吗？
嗯？
抱歉，所以系统的极限是速度为1？那物理意义是什么？是跟弹簧强度有关？对，对，就对应那种情况。
它只是说相对论极限很特殊，发生在一个非常特殊的点上。为什么那是相对论极限？lambda是弹簧强度，mu是质量，得差不多才行啊。对对，从这里读不出太多东西，对对。只是当选了特殊参数时，才会有相对论极限。
还有问题吗？
那这些都是标量吗？
也可以有张量或者矢量。
那能处理什么？
比如可以处理费米子，也能处理自旋。比如有个伊辛模型，就考虑自旋点阵。取平均自旋，当成标量场，又能写出一个场论。相变研究的突破用数学物理搞清相变的本质，描述相变附近的行为，正好和场论的发展重合。也加深了对量子场论的理解。
好，还有问题吗？
好，总结一下到目前为止讲的内容。
所有的路都通向量子场论。我们讲了三条路，就三条。但它们很通用。第一，研究有趣的量子动力学。
一些经典场。
比如电磁场，或者研究引力的话，时空度规。
等等。这种情况已有经典场论。但世界是量子的，想知道它的量子版本。第二条，它统一了狭义相对论和量子力学。需要场论来统一它们。第三条，它是大尺度下的描述。
离散系统。
把三者合在一起，就能覆盖物理学的很多很多领域，对吧？它们覆盖物理学的很多很多领域。
好，现在说说这学期的计划。好，计划如下。
这只是大纲的另一种说法。
第一章之后，第二章我们先做的是。
讨论最简单的场论。
由方程二描述。就是理论二，二和二撇，二撇是它的运动方程。物理上我们总从最简单的例子开始，总是这样。我们就从这个开始。会看到这个理论描述。
这个场论描述的是无自旋的。
有质量粒子。
把那个理论量子化后，就得到自由无自旋有质量粒子的理论。
你可能觉得有点无聊，自由就是说粒子间不相互作用。第三章我们加入相互作用，讲怎么。
处理相互作用。引入相互作用，讲怎么处理粒子间的相互作用。
然后在第四章，进入真正的物理。这个标量场也真实存在，比如可以描述希格斯玻色子。不过希格斯玻色子可能离日常较远。第四章我们讲更贴近的东西。我们讲电子的理论，叫狄拉克理论。
这个理论描述自由的自旋二分之一粒子。
这是忽略相互作用时的电子理论。好，这就是自由的自旋二分之一粒子。
然后我们。
接下来看麦克斯韦理论。
这就是量子化的电磁场理论。
把麦克斯韦理论量子化。没有源项，就是真空的麦克斯韦理论，你得到的是自由理论，还是没有相互作用。
无质量、自旋一粒子你就得到无质量自旋一粒子的理论。
这就是光子。这就是量子化的电磁场。好，接下来是第五。
抱歉，这里应该是第五章。我找一下。现在我们进入第六章。
我们把第四章和第五章合在一起。
电子，光子呢，一般用伽马来表示，把电子和光子的理论合到一起，再加上它们之间的相互作用，然后我们就得到了所谓的量子电动力学。
这就叫QED。
量子电动力学非常普适，基本涵盖所有量子现象，微观现象，可以说一直到弱相互作用和强相互作用。只要你不进到原子核里面，或者不去特别高的能量，它基本上就涵盖了大部分的物理。对。然后我们会来讲怎么做，讲完之后呢，这门课也就结束了。大家对这一块有什么问题吗？好。
这就是课程的路线图。对，这个。
各章讲义，对。
好。还有别的问题吗？请讲。
抱歉？哦，是胶子。
对，胶子也是无质量自旋一的粒子，但它们会自己跟自己相互作用。所以胶子不一样，要描述它，得等量子场论二。光子的特点是，它自己不跟自己相互作用，但胶子会自己跟自己相互作用。对。基本上除了胶子，其他我们都处理，对。
还有吗？
好。那我们现在进入第二章，来讲这个理论。其实我不该把它擦掉的。
现在讲这个理论。这个理论描述三种粒子，我们叫它自由标量场理论。
这就是我们要研究的理论。接下来我们就来讲，怎么把这个理论构造出来。
好。那第一步，我们先来快速地过一遍谐振子的量子化，你们的习题集里已经做过了，所以我们可以快一点。那么我们在海森堡绘景中。
对谐振子。
做量子化。
我们会看到，只要正确理解这个例子，把这个场论量子化就很简单。把这个场论量子化就变得很简单了。好，我们先从谐振子开始。
这里我隐含地取质量为一，频率也为一。
好，我把频率放这儿。质量取为一。
对这个理论来说。这是个简单谐振子，你们可能早就很熟悉了。动量p就是x点，共轭动量是x点，哈密顿量是p方除以二，加一半欧米伽方x方。运动方程是x双点等于负欧米伽方x。
好。
我们先看这个理论的经典部分。
经典情形。我们知道怎么解这个方程。经典解就是。
xt等于a余弦欧米伽t，加b正弦欧米伽t，a、b是积分常数。
为方便起见，也可以写成复数形式，就是，a乘e负i欧米伽t，加a星e的i欧米伽t，a是复常数。这还是积分常数，只是写法不同。
这些都是积分常数。
好。这就是完整解了。看量子。
量子化。
这时经典的动力学变量，就变成海森堡算符。变成量子算符，特别是在海森堡绘景里，它还依赖时间。这时方程就变成变成算符方程。我该给方程编号，这个星号变成算符方程。
星号是x帽的算符方程。形式跟经典方程完全一样，但解读不同了。这时x帽就成了算符。
那解呢？
记作双星号。
它还是满足那个方程。它仍满足那个方程，只是，它们是c数，因为只是t的函数。但量子力学里，x变成算符。
这就是量子解了。
好。
它仍满足方程，只是量子力学里x加了帽。
它仍满足方程，但这些是c数。
左边是算符，只能是A帽和B帽是算符，A也必须是算符。星号要换成dagger。现在。
比如说，A变成A帽，A星号变成A帽dagger。这些是算符方程的积分常数。它们就成了常数算符。就是量子的常数算符。
好，它们就是常数算符，是量子算符方程的积分常数。解就是，这就是你的量子力学解。
这是常用的形式。
也可以用等价的那个，但我们常用这种。
从这里求导也能得到p。这时变成算符方程，对x求导，就能求出p等等。对吧？
对，p帽t直接求导就得到。
好，然后自己算一下，很简单。
现在。
这方程呢，我们已经解出了量子问题，因为找到了算符方程的完整解。只差还要加上正则条件。
它就等于i。
把x和p的表达式代到这里面，就会发现a和a dagger。
它们的对易子等于1。这就是熟悉的谐振子产生和湮灭算符关系。谐振子的。
现在还能用a来构建希尔伯特空间，因为现在所有算符，因为x和p都能用a和a dagger表示，所以理论里任何算符都能用它们表示，对吧？
用a和a dagger就够了，它们是整个量子理论的基本积木。再用它建希尔伯特空间。希尔伯特空间由最低态定义，就是被a湮灭的态。而更高的激发态。
用a dagger作用在基态上就得到。好，这就是完整的理论。这就是完整的理论。于是现在，有了这些知识，理论里什么都能算，什么都能算。关于谐振子还有问题吗？
好。那么。
我来总结一下。这些可能很熟悉，但总结一下用过的规则，好吗？总结一下。
在谐振子情形下的步骤，然后同样的步骤，可以用来对场论做。
量子化。
推广一下。首先。第零步，就是经典运动方程，变成量子的算符方程。好，第一步，是找到最一般的解。
求经典运动方程的一般解。就是运动方程。好，然后呢。
然后有了量子，你就把。
解里的积分常数。
在第一步中，提升为常数算符。
量子的常数算符，好吗？
这样就有完整的时间演化，在。
量子层面，好吗？
现在知道量子算符怎么演化了。
然后呢，你施加正则。
条件。
这些条件。
这样就能告诉你，这些积分常数算符之间的对易子，好吧，跟这里一样。
然后。
那么这些常数算符呢。
在第二步里，现在你也知道它们之间的对易关系，就能用它来。
生成希尔伯特空间。
第一到第四步，都非常通用，只要你能做到，你基本上就能把它用到任何系统上。谐振子一个自由度，可以用到两个、三个自由度，还能用到无限自由度的场论，好，现在就用到场论上。
用这个步骤做不到，对，因为有限维的希尔伯特空间，没有经典对应物，我们从经典系统出发再量子化。而有限维希尔伯特空间的量子系统，天生就是内禀量子的，比如自旋，自旋就是内禀量子的东西，对，没错。
对对，原因就是它们没有经典对应，对。
对。产生算符总能生成整个希尔伯特空间吗？对，你可以这么想，这个问题很好。我们先看这个谐振子，再试着推广它，因为X和P是独立的基本量。任何算符都能用a和a dagger写出。这样希尔伯特空间就能由它们生成，因为它们是所有算符的基石。
对，这里的真空态是从能量来的。先解出X和P，用它们写出哈密顿量，再找能量最低的态，你会发现最低能态正好满足这个方程，对。然后从那里，就能找到其他态。
对，量子场论里我们也会用同样的方法。好。
好，现在回到量子力学。我们可以把它用到这个理论里。
我们把这方法用到这个理论上。这里补充一下：与phi共轭的正则动量密度叫作pi。它就是phi对时间的导数。从哈密顿密度能明确算出。就是二分之一pi平方。
这就是经典运动方程。
现在来解这个经典运动方程。
这个方程，很好解，因为具有平移对称性。
做傅里叶变换。所以我们可以做傅里叶变换。
现在来做傅里叶变换。所以2撇方程就解出来了。
把phi x写成等于e的负iEt加ik点x次方，好？
这样你就能看到，这就解出来了，并给出。
一组基，用来解。
2.0，好？
就是平面波，对，平面波。
现在把它代回去，就得到色散关系。E平方应该等于m平方加k平方。
我们把它记作欧米伽k平方。欧米伽k就定义为根号下k平方加m平方。
对E开平方，就能取正负欧米伽k。E取正负欧米伽k。我们通常把这个解，分成两部分。
出于历史原因。
习惯上把u k x定义为e的负i欧米伽k t次方。那么。
现在我们代入了E的正根。这通常叫作正能量解。
虽然这个。
名字有点误导性。
其实我们还没有定义能量，后面会看到，这并不是粒子真正的能量。这只是个习惯叫法，是约定俗成的名字。然后你就可以定义k的复共轭。现在对应地，里面就是负的欧米伽k了。
我们取它的复共轭。
这就叫负能量解。
合起来。
它们构成一组完备解，一组完备的解。
就是完备基，一套完备的，基。
是由所有k的uk，和它的复共轭uk星组成的。
对所有k都成立。这就是那个波动方程的完备解。这就是，嗯。
有问题吗？
这就像经典的平面波，你们之前应该也见过。
好，现在可以写最一般的解了。这是个基。
对应这里的正负i欧米伽t指数项。现在代入积分常数，就能写出。
最一般的经典。
解。
所以我们可以直接写phi x，等于对所有可能的k积分，因为k取所有值，全部加起来。
所以前面这个因子只是为了方便，它纯粹是一种约定。不加也行，这只是个约定。然后我们就有a k乘u k，加上a k星乘u k星。以a k和a k星为积分常数，这就是最一般的解。
这是一套完整的积分常数。
那么。
现在到了量子层面。
按规则，我们找到了最一般的经典解。而在量子层面，只要把这里升级成算符就行。加个帽子就行。改成dagger号。
好，这就成了你的。
量子算符的基。
对吧？这就是全部的量子算符。
这样理论就解出来了，好，这就解出了算符方程。解出了算符方程。
下一步就是施加正则。
对易关系。
现在我们得动动脑筋想想了，好。到目前为止很简单。但现在得想想。
对于有限的谐振子，或者说单变量量子系统。
你就直接有这个。
你就有这个。现在要推广到这两个场上。
所以说，我们要推广出对应 phi。
x 的场论。现在把时间和空间坐标分开。这个共轭动量就是 pi，就是共轭动量密度。
要在同一时刻做。
记住，演化算符是同一个，所以要在同一时刻取值，也就是等时。正则量子化条件总是在等时下成立。
但 x 只是算符的标签，不必相同，这里可以是 x，那里是 x 撇。现在要推广这个量到场论里。
现在稍微猜一下，很容易猜到。
讲之前，大家有疑问吗？——有。
对，x 一直只是空间位置的标签，对吧？对，是场论的标签。那这个做法里，总是要加上吗？
对，一般几阶微分方程总会有积分常数。对，就是这样。那它一直会带下去吗？对对对。还有。
问题？
请说。
对，对，这是个很好的问题。
这只是把量子力学的老办法推广过来。通常做法，就算单变量谐振子，经典系统和量子系统也有对应关系。把经典系统量子化，经典方程就变成量子算符。这里我们用同样的规则。因为量子场论只是无限多自由度的理论，量子力学的规则没变。所以我们还是把经典方程提升为算符方程。
还有问题吗？请问，这个怎么理解？
经典变量？场论也有对应的吗？
嗯，有的。经典上，可以对经典场变量定义泊松括号，然后量子化之后，就变成量子对易子。
对，对，也可以这么做。没错。所以一种思路是，你先要，先把有限个自由度的标准泊松括号，推广到经典场论。然后再推广到量子。对，这是一种做法。
还有其他问题吗？
好。答案很好猜，我们就直接猜。
记住。
如果只有一个 x 和一个 p，对，就是这样。
但如果有多个粒子。
比如多个粒子。
就是说。
比方说多个粒子。
量子力学里，动力学变量就是 xA 和 pA。A 从 1 到 n，n 就是粒子数，对吧？于是正则量子化条件变成，x a，x a 和 p b 的对易子，等于 i 德尔塔 a b。
不同的 x 对易。
不同的 p 也对易。
不同的 p 对易，好。
所以这里的 a 和 b，就换成 x 和 x 撇了。x 和 x 撇就是 a、b 的连续版。记住，怎么强调都不过分，x 和 x 撇只是自由度的标签。
现在来猜。
所以必然有下面的结果。
从这里必有，phi t x 和 phi t x 撇的对易子等于零。再看 pi t x，这里的 pi 就相当于 p。对，这些都是算符。
和 pi t x 撇的对易子为零。然后 phi t x 和 pi t x 撇的对易子，只能在 x 不等于 x 撇时是零，x 相等时才不是零。
就是它的推广。
那你现在可以猜，这该是什么？
德尔塔函数？对，就是德尔塔函数。但为什么必须是德尔塔函数？为什么不能是德尔塔函数的导数？比如一百阶导数？
这个问题用量纲分析就能解决。
已知它跟德尔塔函数有关。现在来定。我们来做个简单的量纲分析。
先写下作用量。作用量我刚擦掉了，抱歉。我只讲思路，量纲分析你们自己肯定能做。作用量在我们用的自然单位制下，是无量纲的。
由此可以推出，phi 的量纲应该是 L 分之一，也就是长度的倒数。对吧？还有这个 pi 呢。
这里 pi，我把那个擦掉，pi 等于 pi 点，说明 pi 的量纲是 L 平方分之一。因为对时间求导，还带很多 L 因子。那就意味着右边这里必须是 L 三次方分之一的东西，因为这里没有别的参数。对，这里本来应该有个 i，对吧？量纲是 L 三次方分之一的话，只能是德尔塔函数，不能是它的导数。
这东西就只是德尔塔函数。所以。按惯例这里有个 i，然后就是三维的德尔塔函数。这样量纲正好是 L 三次方分之一，对吧？好。
现在直接代进去。你有 phi 的表达式了。对它求时间导数，就得到 pi 的表达式。然后把它们代到这里。把两个都代到这里，就能找出这些 a k 之间的对易关系。这个计算稍微整洁一点。不过还挺有意思的，当然就留给你们做了。
只要代进去，就能推出下面这些 a 之间的对易关系。这题我记得在习题集二里，不过我还能改主意。嗯，就放在习题集二。a 和 a 之间的对易子，还有 a dagger 之间的对易子。
现在我就不写帽子了，因为每处都写帽子，我实在写不动。
这些都是零。a 之间的对易关系是零。还有 a。
和。
a 和 a dagger 之间。
这个给你 2π 三次方，乘上 k 的德尔塔函数。
就是三维的德尔塔函数。
这又是直接的推广。
如果你们以前考虑过多个谐振子，那不同谐振子之间的 a，这里的 k 一撇就对应，本质上这里就是无穷多个谐振子，每个都用一个 k 来标记。这就是我们发现的。我写在这儿。
从对易关系。
我们。
可以得出，这个理论量子化之后。
变成无穷多个。
独立的谐振子，互相不耦合的谐振子。
这些谐振子由。
连续参数 k 来标记。
k 就是波数。
对吧？每个 k 就有一个。a 和 a 对易是零，a刀 和 a刀 对易也是零，但 a 和 a刀 就不等于零了。这又是一的连续推广，对吧？对，这就是一的连续推广，因为这里有个连续变量。
对，说不准。
对对对。但你看，量子化条件是量子力学里的。量子力学里，T 和 X 地位不对等。作用量里可以让 X 和 T 平起平坐。可一旦开始量子化，T 就有了特殊地位。
不不不不不。正则对易关系必须在同一时刻来施加。
还有其他问题吗？好。
那么。
对，所以基本上我们就得到了，现在很简单了，对吧？你就可以搭建希尔伯特空间。本质上，就是无穷多个谐振子。好，无穷多个谐振子。所以毫不意外，我们得到无穷多个谐振子，因为我们之前说过，这个场论可以写成链上粒子的连续极限。在前面那些例子里，你知道那就是谐振子。找到简正模式后，全都是一堆谐振子。这只是它的三维版本。
好了，今天我们的时间快到了。下次我们会看到，谐振子的每个激发都可以看成一个时空粒子。这就是核心。现在你有无穷多个谐振子，就可以定义真空了。再用产生算符作用到真空上，你会发现每个激发其实都对应一个粒子，而且……对应一个相对论性粒子。所以这个理论里可以有任意多的粒子，因为你想激发多少次都行，对，每次激发就是一个粒子。好，好。好，我觉得时间差不多了。对，我觉得还早了两分钟。不过这里停下正合适。
]]>本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第02讲：对称性与守恒律》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
我们开始吧。先提一下，上次忘了说，我一直都用这个度规约定。就是闵可夫斯基时空这个度规。所以时间分量取负一，空间分量取正一。
好，先回顾一下上节课的内容。
上节课我们讲了局域性原理。
这个原理很强大。
它自然引出了场的概念。
之后我一般都用这种记号来表示场。抽象地谈场时，就用这种写法。其中 phi 和 a 只是区分不同场的标签，场既依赖空间坐标，也依赖时间。物理上，可以把空间依赖看成自由度的标签。每个空间点都是一个自由度，时间描述它的演化。
本质上，这就像，经典场就像经典力学，只是自由度变成了无穷多。经典场论就像经典力学，但自由度有无穷多个。
因为时空每一点上都有一定数目的自由度。
局域性原理还意味着，这些动力学变量，也就是场，作用量必须取局域形式。
作用量总是一个时空积分的形式，里面有个函数叫拉格朗日密度。它依赖于场 phi 在点 x 的取值，以及 phi 的导数。
因为局域性，作用量的形式非常简单。
在经典力学里，可以引入与动力学变量共轭的正则动量。每个点都有共轭于 phi a 的动量密度。
phi 点就是 phi 对时间的导数。然后还可以引入哈密顿密度，就是 pi a 乘 phi 点 a。a 求和后再减 L。哈密顿量就是把密度对空间积分。
再看运动方程。对作用量做变分，就得到运动方程的一般形式。
就是这种一般形式。
研究场论跟其他学科一样，都从最简单的例子开始。最简单的例子是单个标量场，就是一个标量场。
只有一个指标，就是 phi，不依赖时空点 x。这种标量场最简单的作用量，可以根据一般原理直接写下来。
上次说过，标量场最简单的作用量就是下面这个形式。phi 偏导的平方。
加上 m 方 phi 方。这里的符号由度规约定决定。
这就是我们能写出的最简单的标量场论。这里我写的是phi的二次函数，上次我们写的是一般函数。这里的动能项来自洛伦兹对称性。这是洛伦兹对称性下，能写出的最简单导数项。还可以有更复杂的项，比如把这项取平方，但那更复杂，所以这个最简单。
这就是我们要先学的最简单的场论。好，在这种情况下。
在这个例子里动量密度就等于pi，就是phi的时间导数。
它是对时间的导数，然后呢，运动方程，它是线性方程，就由它给出。
这是个很简单的理论，运动方程也很简单，但后面会看到，它能教给我们很多一般场论的东西。这只是快速回顾上节课的几个要点。大家有问题吗？
嗯？对，没错。
对，phi是实数场。
对，phi只取实数值。
还有吗？
好，很好。
现在我们讲经典场论讨论的第二个话题。
对称性。
当我们有一个理论，比如说有这样一个作用量，我们就说它有对称性。对称性定义如下。
对称性是某种变换。
把每个场phi a变成phi的某个函数。
这个新的phi a可以依赖所有可能的场。也就是对动力学变量的某种变换。这里的撇号只是另一个函数，不是求导。它要让作用量不变。
对吧？
只要满足这一点，我们就说这是一个对称性。
比如在这个例子里。
我给这个方程标个记号，就叫它星号方程。
在这个星号方程的例子里。
比如说，这个对称性包括平移。
设想我们做坐标变换。
对坐标做一个移动。
常数移动。
设想把坐标平移一个常数。
其中a mu是常数，所以a mu是。
一个常矢量，现在假设phi这样变换。改变坐标，其实就是换掉场上的标签。但场的值不该变。也就是说，phi在原点的值不变，变换后的phi在新点的值，等于原来那点的值。好，假设phi这样变换，标量场应该。
这样变。
在一般的时空变换下。这是时空变换的例子，一般的时空变换是。
按这个方程。你换了标签，但phi的值不变。新phi在新位置的值，等于原位置的值。
大家可以自己验证一下。我这里就不推了，留给大家当练习。可以验证，这个作用量在这种x变换下是不变的。
有问题吗？
第二种不变变换，是洛伦兹对称性。
洛伦兹变换是另一种时空变换，作用在坐标上，把x mu变成lambda mu nu乘上x nu。这个lambda mu nu是常数。
洛伦兹变换矩阵。
是常数矩阵。这种坐标变换下，phi也这样变换。phi就该这样变，大家可以自己验证。由于偏导指标的缩并，它确实是对称性。这个也留作练习，你们的习题里会做类似的。
有问题吗？
好。
像平移和下面这种变换，这类就叫连续对称性。
连续对称性。
就是这些变换。对了，这个方程也标个号，就叫三个星号吧。连续对称性就是像星号。
那种变换，带有连续。
参数。
所以前面一和二都是。
显然是连续对称性。
从这就能看出。这里的变换是A，A是四个数，是个四维矢量。A可以任意取，它是连续参数。可以取零，也可以各方向取零点一，等等。它能连续变化。同样地，同样地，洛伦兹变换也带连续参数。大家还记得四维洛伦兹变换有几个连续参数吗？对不对？
对。对，六个。三个空间方向，三个转动，再加三个助推，一共六个。所以这里有六个连续参数。
这里四个。好，这里是四。两个都是连续对称性。
反之。
这个拉格朗日量、这个作用量有很多对称性。
它们不连续。能说说是什么吗？
很好。宇称，这是个不错的答案。但还有个稍微更简单一点的。
注意，这里都是phi的二次项。
发现了什么？
这里有个对称性，很多对称性。
就是phi变成负phi，因为它是二次的。当然，还有一种叫做宇称的对称性。
也就是x变成负x，空间方向x变成负x。phi也照这样变换。可以验证，这也是对称性。这两种都不带连续参数，所以叫分立对称性。
对，它们没有连续参数。这两个都叫Z2。Z2的意思是，变换做两次就回到恒等。这里做两次……对，做两次就变回原样。做两次回到自身，我想这就是一样的。这里是Z2变换。另外，对称性还可以分成，比如说，连续对称性。
或者分立对称性，看有没有连续参数。对称性还有别的分法，分类方式很多。比如规范对称性和整体对称性。它们是整体对称性。
它的变换参数。
与时空无关。
这两个都是整体对称性的例子，因为参数只是常数，不依赖时空。lambda也不依赖时空。还可以有局域对称性。
这种情况下，变换参数。
就是。
随时空变。
局域变换的例子，你们可能记得，就是电磁学里的规范变换。在电磁学里，总之以后会讲。我们回到电磁学，你们会看到这种局域对称性的例子。
有问题吗？
它改变作用量，但不改变运动方程。这算类似吗？嗯，就作用量来说是这样的。对，这个问题很好。按定义，如果它让作用量保持不变，我们说它是对称性。一般来讲，实际上几乎总是，如果作用量不变，运动方程也不变。对，但不保证。纯数学上不保证，但所有物理例子里都成立。几乎都一样。
还有吗？
好。
接下来，有个非常简单，但很深的联系，就在对称性和守恒律之间。大家可能早就听说过了。其实我都忘了自己是啥时候学到的。有人高中就学过，有人大学才学，等等。总之，对称性和守恒律之间是有联系的。
任何守恒律都能理解为对称性的结果。经典力学里你们可能还记得，时间平移。
导致能量守恒。
而空间平移。
对称性，就导致动量守恒。
如果是转动对称。
就对应角动量守恒。
这些大家应该已经知道了，经典力学里学过。但在经典场论里，这能推广。这里，有个诺特定理。这定理最早由艾米·诺特发现。
任何连续整体对称性。
都导致守恒律。好。
导出守恒律。
不论哪种对称性，除了熟悉的那些之外，不管什么对称性。只要系统有连续整体对称性，那系统就有守恒律。好，现在我来证明这个诺特定理。证明之前，对它的表述有问题吗？
嗯？这像是定义。你说连续对称，就是连续依赖一个参数。如果想写个式子来专门刻画连续对称，也有办法。我会展示，比如怎么判断。对对，你就看有没有连续参数。就看有没有参数。
这样回答你的问题了吗？
对，一般看有没有参数就行。把变换写出来，一眼就能看出。这里就没有变换参数。洛伦兹变换和平移，都能直接看到参数。
好。
连续对称性有个重要特点，就是因为它有连续参数，你可以连续地把它变到恒等。平凡变换就是不做变换，对吧？这时 mu 等于零，平凡变换就是 lambda mu 等于单位矩阵。再想象一下。
稍微做一点无穷小旋转或 boost 变换，这就对应所谓的无穷小变换。这里你也可以把 a mu 取得小一点，非常接近恒等。所以基本上对任何。
整体连续对称性来说。
都有无穷小形式。
就是变换参数非常接近零，非常接近恒等。比如对像这样的一般变换，如果它很接近恒等，那么总可以把它写成下面的形式。phi a 变成 phi a 撇，就等于 phi a。
加上一个小参数伊普西隆，和某个函数 f a，比如 phi b 和它的导数等等。好，这个伊普西隆就是。
无穷小变换的参数。
所以只要有个连续对称性，就总有无穷小变换。它接近恒等。这里的伊普西隆，对应这种情况就是 a mu 很小；洛伦兹变换的话，就是旋转角很小，或 boost 很小。所以伊普西隆可以是其中任何一个参数。
而这个 f 可以是任意函数，可以是场的任意函数，好。
好，那这里德尔塔帽 phi a，用旋转的例子来说，这个对称变换就由伊普西隆 f a 给出，好。
这里的德尔塔帽，指的就是无穷小的对称变换，好。
现在我们来考虑，作用量 S 在这个德尔塔帽下的变分。按定义。
既然这是对称性，德尔塔帽 S 就应该等于零。
因为对称变换下，作用量的变分应当不变，好。看看后果是什么。现在只需关心这个 L。
这就意味着，这个 L，也就是拉格朗日密度，它的变化必须是全导数。
因为每个变换都正比于伊普西隆，它是个小参数。做变换时，只需保留伊普西隆的线性项。所以 L 的变换，也正比于伊普西隆。既然必须不变，那 L 的变化就必须是个全导数，好。所以一定存在某个 k mu。一定得有某个 k mu，好。k mu 也可以为零，这时拉格朗日密度不变。是吧？
德尔塔帽是变换下的变分吗？德尔塔帽就表示这样一种变换。它只指这种变换。不是一般的变分，是很特定的，是对称变换。
在对称变换下，按定义作用量应该不变，因为这是对称性。而这又意味着，因为 S 是 L 的积分，所以 L，也就是拉格朗日密度，它的变化必须是全导数。这里我们只保留伊普西隆的线性项，所以它正比于伊普西隆乘全导数，好。所以我们必须有这种结构，对某个k维的球，好吗？可以为零。
也可以是零。好，那现在我们来看这个方程有什么含义。这个方程就是对称性给出的约束。好，下面看看这些约束意味着什么。
现在我们直接对L做变分。
现在对L做变分。
那个方程先留着，我先写这块板。
就是说，如果某个东西是你系统作用量的对称性，你会直接对它变分吗，比如变个参数，然后证明作用量不变呢，还是你会这么做，比如它是1，然后来证明？所以我们要利用这样一个事实，就是这种变换是对称性，用它来推出拉格朗日量要满足的约束。
也就是对理论的约束。我们假设理论有某种对称性，然后看这给理论带来什么约束。对，证诺特定理。
好。还有吗？
所以这个方程就是。
对称性给出的约束。我们想看看，这个方程到底告诉我们什么。为此我们直接做变分。所以这个德尔塔帽L，因为L只是phi的函数，所以有偏L偏phi A，乘上德尔塔帽phi A，然后再有一项，偏L偏，偏mu phi A。
再乘上德尔塔帽，偏mu phi A。好，这样我们就做完了变分，好，现在，好，那接着往下走，现在我们要用运动方程了。好，从运动方程出发，偏L偏phi A这一项，它就等于偏mu，偏L偏偏mu phi A。好，那我们就把这一项代到这里面。等你代进去之后，你就会发现，这一项就变成了一个全导数。
这样你就有偏L偏mu phi A，还有。
乘上德尔塔帽phi A。
用了运动方程之后，这个德尔塔L就变成了全导数。
而它应该等于右边，要等于右边的。
这里我们发现，它等于伊普西隆偏mu k mu。
好，两边合在一起，代入它等于伊普西隆乘F A，就得出结论了。好，结论就是偏mu。
偏L，偏偏mu phi A。
乘F A，再减k mu。
当成mu看。好吗？那就叫它j mu。
就有守恒方程，∂μ jμ，两个μ看作同一个指标。
好，守恒律有了。
记住，守恒律就是找一个满足这个方程的矢量，然后，对。
更明确地说，j mu就是这个组合，j mu就是这个组合。有疑问吗？这个条件挺奇怪，因为要求对时空的导数为零，但这里对时间的导数也可以守恒呀。对对对，我会讲的。对，这比你平时见到的要强。可以说，这就是经典力学守恒律的时空版本。这是它的场论版本。好，我待会儿把这个方程再细讲一下。
嗯？那。
变换时。
会产生什么效果？
我再说一遍。
它做变换。
这里呢，对对。这是一个一般的表述。这个变换可以很一般。不必是我们之前说的时空变换，它只是某种抽象的对称性，就是任意的一些变换。
是场的变换，不是空间的变换吗？对，时空变量是哑变量，在作用量里可以消掉。x不变，x只是作用量里的哑变量。因为要对x积分，对吧。
对，那可以包含，一般来讲，对，原则上想要多少阶导数都可以。但通常，我们的作用量只含一阶导数，对称变换也只涉及一阶导数。
那种情况先不讨论。
对，原则上可以有。我只是为了简单才这么写。
嗯，可以下课再问。这个还不清楚。还有问题吗？
好，那我把这个方程再稍微展开讲讲。这个方程你们在电磁学里可能见过，通常叫连续性方程。把方程拆开写，形式就是，∂0 j0 加上 ∂i ji，也就是空间分量的散度。那这个j mu，如果把它写成。
具体写出来，就是这样的形式。
这就是所谓的连续性方程，就是密度随时间的变化。0分量可以看作某种密度，它随时间的变化等于流的散度，明白吧？特别是，可以定义一个荷，就是把j0对全空间积分。明白吧？把两边对整个体积积分，左边就变成对时间的偏导，q。这一项变成全导数，再用高斯定理化成边界项。而流在无穷远处通常为零，于是只剩电荷那一项。
就剩电荷项。好，这就是场的版本。经典力学里你通常只有这个方程，这就是守恒律的场论版本。
嗯？
是这样表示的吗？怎么知道J代表什么？J代表什么？嗯，会的。你会在习题里做。给我一个具体的拉格朗日量，再给定一个具体变换，就能找出所有这些量，能明确求出K，也能求出那些量，然后就能得到J。
有问题吗？
请讲。
对，如果我们这里有。
如果德尔塔s等于零，你把它直接代进去，这个量要积分。如果它是零，那它必是全导数。
有问题吗？
嗯，这属于整体对称性的问题。对，你说得对，这个问题问得很好。这里没时间细讲，我快速提一下，这叫诺特第一定理。伊普西隆不依赖时空时是这样。当它依赖时空时，情况就复杂一点。伊普西隆要待在全导数里面，不能拿出来。故事就变了，有个叫诺特第二定理的东西。当伊普西隆依赖时空，也就是有局域对称性时，你得不到守恒律，反而发现运动方程，会发现方程的某些部分是冗余的，不是全部。嗯。
这不难。原则上我可以把它放进习题里，你真想看的话。嗯？关于恒等变换的问题。方程在变换下会怎样？好，很好。这就是物理的美妙之处，量子力学里你可能已见过。每当我们遇到一个对称性。
不管它多复杂，比如某种连续对称性，只要理解它在恒等变换附近的行为，也就是无穷小变换，就够了。因为任何有限变换，都能由无穷小变换累加而成。知道无穷小变换后，除了一些整体拓扑结构，基本就定出整个有限变换。嗯。
不，那总还是对称性，对吧？因为每一步都是对称性，加起来、加起来，仍是对称性。
或者做别的组合，也还是对称性。按定义嘛，如果变换下不变，连着做多次变换也不变。
好，还有问题吗？嗯，对于分立对称性，我们没有这个……对不起？分立对称性，我会做类似的事。一般说，这时你没有这样的守恒律，有时仍能定义某个分立量子数，它是守恒的，比如宇称那种情况。但不会有流。好，这里的J mu叫守恒流，但没有流。
好，我们这部分讨论就到这里。
简短讲讲经典场论的重要特点。有了这些准备，现在我们可以开始考虑进入量子力学，来谈量子场了。
这里正好可以停一下，回顾讲过的经典场论，稍微展望一下量子场论。这里我再重申一下量子场论的目标，上次课已经简单讲过。
我们已经见过经典场，目标就是理解它的量子版本。经典场论就是有无穷多自由度的经典力学。现在要把这些自由度量子化，就得到量子场。我们要理解这种场的量子动力学。举个例子，比如电磁场，我们有电磁场。你知道麦克斯韦方程组，能把它解出来，这就定义了经典场论。
然后我们会讲怎么量子化这个系统，来理解电场和磁场从量子力学的角度。
好，这就是我们的目标。我们从最简单的场论开始，就是标量场论。然后讲描述电子的狄拉克理论，最后我们再讲一个理论。它描述电子和电磁场，就叫量子电动力学，这就是这门课的终点。
好，那现在我们来讲讲。
怎么从经典场论走到量子场论，先讲几点一般性的说明。在这之前，先想想自由度很少的经典力学是怎么过渡到量子力学的。好。我们来回顾一下。
经典力学里。
看最简单的例子，只有一个自由度，比如x(t)。就是一个一维粒子，它的运动就用x(t)描述。当然，经典力学的目标就是解出x(t)的运动方程。写下x(t)的方程，解出来，就完事了，就完事了。经典力学就解完了。
到了量子力学。
怎么办？x(t)就变成算符。
经典动力学变量变成了量子算符。x(t)的运动方程，如果你还记得，它变成了什么？
它就是海森堡方程。
就是这个算符x(t)的。
海森堡方程，对吧？
量子力学通常有两种描述方式，首先是薛定谔绘景。
这时你有一个波函数。
是x和t的函数，还有个算符x。
当然还有共轭动量，就定义为x点。
那么波函数就是本征值的函数。
这里的x要理解成，算符x hat的本征值。就是x hat的本征值。薛定谔绘景里，你解psi的演化方程，找到psi后，就能算任何想要的量，比如期望值。
还有振幅等等。第二种方法是海森堡绘景。
这时，动力学量是算符，假设算符随时间变。薛定谔绘景里x是常算符，不随时间变。海森堡绘景里，算符随时间变。
运动方程呢，你解海森堡方程，然后态不变。态不随时间演化。你解算符的海森堡方程，解出来后，就可以算你感兴趣的任何态里的期望值。
有问题吗？这是从经典力学到量子力学的快速回顾。好。
现在到场论。
场论里我们做类似的事。
同样地，在。
场论里我们有经典场，好，有经典场，然后到量子时。
变成量子算符。
对，现在就是量子算符。
记住，场论里这个x只是空间点的标记，不是动力学变量。记号有点容易混。经典力学里它是动力学变量，场论里只是标记。它们不是动力学变量，动力学变量是phi本身，所以phi变成了算符。phi的经典运动方程。
推导出来后，就变成phi hat。
的海森堡方程。
这里同样有两种绘景，薛定谔绘景和海森堡绘景。
对于量子场论。
薛定谔绘景，还是看动力学变量的波函数，即它们的本征值。
那psi xt怎么推广？记住，psi是本征值的函数，动力学变量的。
把这个类比推下去，量子场论薛定谔绘景里，波函数该是。
phi x和t的函数。这些phi x就是。
phi hat x的本征值。薛定谔绘景里，phi 算符不随时间演化。你有波函数，这个函数会变成泛函，因为它本身是空间的函数，然后你解它的薛定谔方程，就得到算符。
然后就有了算符，也就是 phi x 这个算符。好，这就是薛定谔绘景的做法，在薛定谔绘景。而在海森堡绘景。
你不管波函数了，看算符怎么演化。
场论里。
场的海森堡绘景，就是看 phi x t 的演化。它服从海森堡方程，就是 phi 经典方程的量子版。你看它的演化，态不随时间变化。对吧？态不随时间变化。
好。有问题吗？
有。
嗯。
薛定谔绘景里要记住，x 只是 phi 的标记，时间才是演化。但薛定谔绘景里，算符不演化，所以这里没有时间。它就像量子力学里那个 x 算符。时间依赖都在波函数里。波函数就是 phi 算符各种可能取值，即本征值的函数。
好。海森堡绘景呢，你只盯着算符方程。解出算符方程，就能算任意态的期望值。好。现在你可能已经看出点区别了。用薛定谔绘景，你得对付这个庞然大物。
也就是空间上函数所有取值的波泛函。要是有多个场，那就复杂得吓人，还得写薛定谔方程等等。但在海森堡绘景里，我们只解类似经典运动方程的东西，而且早就写好了。把它当成量子算符方程就行。你觉得哪个更简单？
所以量子场论里，我们几乎都用海森堡绘景。我们总用海森堡绘景，很少去想波函数。虽然有时波函数也有用，但多数时候海森堡绘景更简单。我们就这么干。量子场论里，我们几乎一直用海森堡绘景。从现在起，我不再讲薛定谔绘景。
好，这点很重要。你要提醒自己用海森堡绘景想量子力学。因为你们以前的量子力学课，可能全在薛定谔绘景里。解波函数、解薛定谔方程什么的。现在你得换个视角，一切用海森堡绘景来想。这样在量子场论里就轻松多了，好吗？
好。对此有什么问题吗？
问一下，海森堡绘景里，要是不管波函数那些，那怎么确定，比如说，位置 x 的概率，或者期望值怎么算？很好很好，这是个好问题。这其实跟我们在量子场论里要解的问题，也有关系。在量子场论里，我们常和真空态打交道。比如这里。
研究量子电动力学时，电磁场大多时候都处在真空态。所以我们只考虑真空态里的 psi，其他都不用管。对，就是这样。通常就关注我们感兴趣的态。
这就是海森堡绘景方便的地方，不用考虑一般的态。请说。
这个态的物理意义是什么？哦，它只是你关心的某个态。你有希尔伯特空间，但现在，研究演化时，只演化算符，不演化态。这就是薛定谔和海森堡绘景的区别。比如，在量子力学里，用态去算算符的期望值，得到各种结果。那这里呢？其实一样。到这个层面，量子场和量子力学没区别。就把量子力学用海森堡绘景来想，把薛定谔演化那套都翻译过去。
还有？
嗯？对，没错。那我们能说只关心真空态吗？要做哪些测量呢？嗯，这又是个很好的问题。我该说的是，我们关心的态都接近真空态，就是把真空稍微激发一下。真空里当然什么都没有，我们关心的是接近真空的态。后面讨论时你们会明白的。
好。那么。
在进入。
量子场论。
我们再补充几句。简单讨论一下相对论性量子力学。好，简单想，如果有狭义相对论。
量子力学。
想推广的话，你们学的大多是非相对论性量子力学，对吧。那要把狭义相对论和量子力学结合起来，会得到什么呢？
你们觉得呢？
我猜，想到什么就说什么。
对，这就是答案。
答对了。不过我本想有人说，相对论性量子力学。
简单说。
把这两者结合时，特别是，如果你读一些老的量子力学书，书里确实讲相对论性量子力学，这两者一结合，自然就得到它。你会说，哦，这就是相对论性量子力学。但这说法不对，严格来讲，这就是为什么没多讲相对论性量子力学，因为严格说，它并不存在。只要想把量子力学和狭义相对论结合。
得到的就是量子场论。它其实是被逼出来的。想统一狭义相对论和量子力学，就得要它。就算你不想谈场，就算只想谈粒子，只要统一这两者，也自动得到量子场论。下面我来解释为什么。这样你能更好地体会量子场论。
好。咱们把非相对论性量子力学的做法拿来，推广去推导相对论性量子力学。假设你是一九二六年的人，量子力学刚被发现。非相对论性那套懂了，现在推广到狭义相对论。好，在非相对论性量子。
力学。
怎么推导薛定谔方程？做法是，先从非相对论性粒子的色散关系出发。然后把 E 换成 i 对 t 的偏导，好，p 呢，让这个矢量变成。
先不管 h bar。p 变成空间导数，方程就成了自由粒子的薛定谔方程。
这就是自由非相对论性粒子的薛定谔方程，再加势能等。就这么推出来的。这是非相对论性量子力学。但假如你处在量子力学早期，现在咱们试着推广到狭义相对论，这很容易，在相对论情形。
你就有相对论情形的色散关系。
你说，咱们照做一遍。同样替换，E 换成 i 对 t 的偏导，p 换成那一个，方程就能写出来。
把导数合并移到同一边，得到的就是对 mu 的偏导乘对 mu 的偏导。
就得到它。这方程眼熟吗？
这就是我们写过的最简标量场运动方程。但这里解释很不同。之前写过，叫克莱因-戈登方程。
这就是克莱因-戈登方程，最简自由标量场的运动方程。但这里解释很不一样。记住，psi 不是场。量子力学里，它是单个粒子的波函数，psi 是粒子出现在t 时刻空间位置 x 处的振幅，取平方就是概率。它描述的不是场，是单个粒子的波函数。虽然它和之前场论的方程一模一样。
克莱因和戈登就是这么干的。他们试着推广非相对论性量子力学，写下这方程后他们说，这下永垂不朽了，因为写出了相对论性量子力学的第一个方程，然后。
很快你会意识到，这个方程要想解释成波函数的方程，其实问题很多。
说很多有点夸张，其实就是几个问题。
好，我来给这方程标号，我的星号已经用完了，四星有点过头了，这一节就叫它方程一吧。马上能看到几个困难。
把方程一。
当成波动方程。
当成相对论性。
粒子的波动方程。
省点时间，这是非相对论性粒子的波函数，想把量子力学推广到相对论性量子力学，就把这当成单个相对论性粒子的波动方程。那么第一个。
第一个是，如果你还记得。
这方程里，好，回想你早年在学以波函数为基础的量子力学，从这方程能推出概率守恒的方程，概率守恒，那个方程告诉你，psi 的平方该解释成概率。对吧？
但是。
对这个方程，你能证明，没有一个量。
能够拿来当作。
概率密度。
概率密度按定义要满足两个条件，第一，它非负。
第二，它要守恒。概率得守恒，不然就违反了，你可以证明，这个方程其实不允许。那个方程允许这种量，这个方程不允许，好？我就不推了。这在习题二里，对，习题二里你们自己来证。还有。
第二个困难是。
把它平方来求能量。
取平方根后，能量原则上。
正负都有，两个解，E 等于正负这个量。
相比之下，那个方程只有正能量，经典上你可以说，扔掉第二支。
经典上可以人为扔掉那支，但量子力学上，经典上。
不管第二支。
负能支。
但在量子力学里，这行不通。因为方程摆在那，就自动有负的解。量子力学下，就有这样的色散关系。
这个色散关系，就是 E 作为 p 的函数。有正能一支，也有负能一支。大家记得，量子力学里有能级，一条条的能级。
这儿的粒子，能量比那边的粒子高。这条能级比那条高。量子力学里，粒子总有一定概率，从高能级跳到低能级。就像氢原子，一激发总会落回低能级。这种事在量子力学里躲不开。对吧？不能把这支直接扔掉。这会导致不稳定。
因为能量可以无穷地负下去，对吧？可以无穷地负下去。所有粒子都会掉到无穷负能里，系统就出大问题了。
所以这两个，就是最突出的。
问题。后来大家试了各种办法，想绕开它们，有的很巧妙，这里就不细讲了。但我要提一点：就算这些问题都解决了。
相对论性量子力学还是不成立，原因很根本。这些只是表面原因。其实还有更根本的理由。
就是相对论性量子力学，连概念本身都说不通。
按定义，如果要把这东西当成波函数，波函数是什么意思？前面说过，它描述单个粒子在某一点出现的振幅。也就是 t 时刻、x 那一点。那要是有两个粒子呢？那就引入粒子一和粒子二的位置，还有时间 t。这描述两个粒子。三个粒子就要更多 x。记得，非相对论性量子力学就是这么做的。在非相对论性量子力学里，这说得通。因为不同分支不会混起来。一个粒子、两个粒子分得清清楚楚。非相对论性系统里，粒子不会产生或消灭。
但在相对论性系统里，随时能产生粒子。能量够多，就能造出新粒子。比如产生正反电子对，加速器里天天有。电子还能湮灭成光子。对吧？所以粒子数并不守恒，不守恒。那这种波函数概念就根本讲不通了。所以只要狭义相对论和量子力学放在一起，就必须有一个框架，能同时描述任意多的粒子。因为粒子数随时都在变。因为粒子会湮灭、会产生。这一点，波函数这种概念做不到。
波函数做不到。神奇的是，场论能做到。场论一旦量子化。
就会自动给你一个框架，统一描述任意多的粒子。一个粒子、两个粒子、任意多个都行。这就是场论的魔法。所以场论在粒子物理里这么重要。因为场的激发，自动提供了描述任意多粒子的机制。今天到这。
]]>本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第01讲：经典场论与局域性原理》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
对，我是刘宏，叫我宏就行。
我是理论物理学家，研究方向是高能理论，包括弦论、量子引力，还有非平衡统计物理等等很多课题。下面我简单介绍一下量子场论这门课本身。这门量子场论课的目标，是建立概念和方法，来研究场的量子动力学。相信大家都学过麦克斯韦方程。麦克斯韦方程描述电磁场的纯经典动力学。
但我们生活在量子世界。所以电磁场也应该用量子语言来描述。这样做了之后，你就会发现光子这个概念，一旦量子化处理电磁场，就自然得到光子。光子就是传递电磁相互作用的基本粒子。你会得到和经典物理完全不同的图像。
这门课的目标之一，就是让大家理解量子电动力学。这也是课程的终点，到时我们会讲量子电动力学。
量子场论对自然界的其他相互作用也很重要。自然界四种基本相互作用，三种完全由量子场论描述。量子场论也可以用来描述引力，进而描述量子引力，但目前它还不能完整描述量子引力。但它的技术仍有助于理解某些量子引力问题。
量子场论最初是为粒子物理发展起来的，但这些年，它在凝聚态、统计物理等很多分支都有大量应用。可以说，如今量子场论已成为理论物理的通用语言，几乎覆盖所有领域。做理论的人，必须掌握这门语言。就算你只做原子物理或统计物理，场论的概念也非常重要。做实验的人，了解量子场论的基本概念也会大有帮助，能帮你了解最新的理论进展，也方便和理论家交流。
这门课是研究生系列课程中的第一门。这学期主要发展基本概念，后面的量子场论二和三，会更偏重技术上的发展。如果你是做实验的，可以把量子场论一当独立课程，它足够你掌握量子场的基本思想了。呃，这取决于你的基础，要不要学二和三，也可能看你的基础。
好，主要讲的内容列在大纲里，就是这份大纲文档，已经放在网站上了。
要强调的是，大纲只是个粗略的路线图，可能随进度调整。中途可能会有变动，有时我讲到一半会改主意。总之，别把大纲看得太死。对量子场论有问题吗？
好。
另外我想说，量子场论一向被认为是非常难的科目。
说实话，我自己当年学的时候也吃了不少苦。但事后回想，加上多年教授各层次的量子场论课程、接触过很多学生，我现在可以向你保证，量子场论其实一点都不难。只要学的方法对了。当然，任何东西方法对了都不难。这话听着像空话。
但记住，每当你觉得太难了，可能只需换个角度看。你得换个视角。大家对量子场论的一个抱怨是，它经常要做大量计算。确实如此，这是现实，躲不开。但这不是它难的原因。
复杂的计算，一行一行往下推就是了。只要够细心、有耐心，总能走完。我觉得对多数人来说，量子场论的难点更多在概念层面。因为这门课不太直观。光靠想，是很难真正理解的。所以我之前强调，做题、亲手推导非常重要。
这门课是靠例子学起来的，做透很多例子，你会慢慢建立量子力学的直觉；等你把该学的都学到，对量子力学就有感觉了。量子场论也一样，你得慢慢培养直觉。这不是能轻易做到的，对，就像力学，有些科目直觉好的话光靠想象就行。
那么，为了帮大家培养量子场论的直觉。
帮大家培养量子场论的直觉，我可以给三条建议。第一条建议是，量子场论本质上就是量子力学，但要处理无穷多个自由度。而在量子力学课上，你处理的总是有限个自由度。而量子场论的差别是，要处理无穷多个自由度。事实证明，处理无穷多个自由度确实会带来不同。多了就不一样。
有时甚至会带来概念上的差别。所以量子场论有时不直观。对很多人包括我都是这样。学量子场论遇到的困难，往往不在量子场论本身，其实是你量子力学没学透。所以每当遇到不太懂的地方，不妨退一步问，这个困难能不能只用有限个自由度的量子力学来表述。
困难往往量子力学里就能表述。这样你就能自己解决问题，毕竟我们都该精通量子力学了。我当年学量子场论时，有些地方卡了很久。后来我才意识到，只是因为我没把量子力学的海森堡绘景学透。等你理解了——等真正搞懂海森堡绘景，那些困难就消失了，跟量子场论本身没关系。
所以第一次作业就是让大家熟悉海森堡绘景。这是我的亲身经验。第二点是，量子场论用很多形式化工具。这门课有时显得很形式化，套路一大堆。但请记住，物理学中任何形式化体系，无论多么抽象，它为解决具体物理问题而设计。都是非常具体的物理问题。只要弄清量子场论是为了解决哪些具体问题，那些形式体系就好理解了——为什么这样做、为什么用这个技巧，因为它们都是为解决具体问题而发明的。
第三点我们说过，量子场论和量子力学一样，直觉是通过经验、通过例子积累起来的。做习题的时候，看完课上例子，做完习题之后，要常问自己，总要回头看那道题，问自己从中学到什么，再从头想一遍，反复琢磨。再想想从中学到了什么，这是帮你积累经验、培养直觉的好办法，好。
还有很重要的一点要记住，就是在这样的研究生课程里。大部分内容要靠课外学。课上主要是引导大家，强调概念图景还有物理直觉等等。有时我会留些细节，让你们在习题里完成。有时候习题集会包含课上没有完全展开的问题，我希望你们自己推出来。习题是学习的重要部分，甚至能学到新东西。不只是练习，更是学新东西的重要环节。
好，最后一点我要先道个歉。你们很快会发现，课上用的记号和推荐参考书里的记号不一样。嗯。推荐佩斯金和温伯格，我记号不一样讲述顺序也和他们不同。我知道这很烦人。
但没有完美的教材，也没有人人都用的统一完美记号大家都用自己觉得最方便的记号。
这个我知道，但确实没什么好办法。记住，我课上的记号可能和那些课本不同。好，还有其他问题吗。
好，没问题的话，我们就开始。
第一章的题目是——。
为什么要有量子场论。
首先。
先简单讲讲经典场论，为后面打个基础。
在此基础上再讲量子场论。
第一个重要概念，叫局域性原理。
还记得高中学的牛顿力学吗？
牛顿力学里有超距作用。
比如引力，太阳对地球有引力，但它们离得很远。带电粒子之间的库仑相互作用也是这样。
但到了十九世纪，出现了局域性原理，由法拉第提出，大约在。
一八三零年，对吧？局域性原理说的是：空间中任意两点之间，其实没有超距作用。
点之间，其实没有超距作用。空间里所有的点。
空间里的每一个点都参与。
到物理过程当中。
也就是说，如果两点之间有相互作用，这种作用就会从一点传播。
到另一点，对吧？
所以在局域性原理下，没有超距作用。作用总是要传递的。作用总是通过在空间中传播，从一点传到另一点。那。
场呢。
场的概念，是一种数学工具。
或者说一种载体。
局域性原理正是靠它。
才得以实现的。
这就是我们实现局域性原理所需要用的工具。
场的主要思想是，我们给空间中的每一个点。
空间中的点，配上一个。
分配一个动力学。
变量，或者说几个变量。比如说。
有一个电场。
电场定义在整个空间。
在每个点x上，都能引入一个电场，对吧？这个电场还可以依赖于时间。
当然，习惯上我们就写成e x t。
我之所以这样写，是为了强调，在电场的定义里，空间和时间的角色其实很不一样。空间扮演标签的角色，每个点x上，都有一个电场。所以x只是个标签，t用来描述演化，也就是电场的变化。x和t的角色很不同。
同样地，磁场也可以这么处理。
完全一样，好。
这里你要始终把x看成标签。空间点用矢量x表示，它就是标签。
电场和磁场的演化，由麦克斯韦方程组描述。
我把它们写下来提醒大家。b的散度，等于零。e的散度是。
四派rho。
这就是麦克斯韦方程的微分形式。
我特意把它们写下来，原因是。
是想强调下面这点。这组方程。
完美体现了局域性原理。因为你看，这些方程只涉及电场和磁场在同一点的值。如果这里是x点，这里也在x点，而那边是另一个点y。这就体现了局域性原理，万事万物，效应都从一点传到另一点，只用同一点的导数。
绝不会涉及分开的点。
这些就是我们说的局域方程。
方程里只包含。
以及电场E和磁场B。
同一点。
以及同一点的电荷密度和电流密度，且只含有限个导数。
这些导数呢，是帮你传播效应的，它把一点和邻近的点连起来。就这样靠导数传播。导数是关键，非常关键。
另一个局域性例子，这里不讲你们有些人知道，是爱因斯坦引力，广义相对论。
爱因斯坦引力里，动力学变量是时空度规。它是带两个指标的量，两个时空指标。
爱因斯坦方程就是关于它的方程。这些方程同样是局域的，只依赖同一点的g和有限个导数。在爱因斯坦引力里，不再有超距作用。引力效应是在时空中传播的，通过时空传播。
其实啊。
这里我们说，这两个例子体现了局域性原理。实际上，局域性原理在建立这些方程时起了非常重要的作用，因为我们很快就会看到，有了局域性，能写下的理论就会被大大限制，这个原理非常、非常强大。
可以有非局域方程，但一般认为，自然界的基本方程都是局域的。
目前支配自然界四种基本相互作用的方程，全都是局域的。
还有问题吗？请讲。
什么？
再说一遍，我没听懂。
嗯。
哦。在爱因斯坦的理论里，这两个量当然是用同样方式处理的但如果你从场的角度看，它们其实有非常不同的物理解释，对，所以我才这样写嗯。对，跟这里写法一样，道理相同，就是强调这点。
强调x和t扮演的不同角色。你问得非常好。等我讲到相对论性部分，这两个就会变得一样了，扮演完全平等的角色。
回答了吗？好。好。还有吗？
再快速提一下场的不同类型。
好，可以有一种叫做标量场的东西所谓标量，就是在每一点上只取一个值。
只取一个值。比如温度。就是定义在一点上的单独一个量。比如温度。还可能是别的量。然后有矢量场。
E和B就是例子，每点都是一个矢量。
这里用的是三维转动。相对论里，还能用四维矢量转动。比如矢量势。写成这样。A_mu 和时空坐标 x 合起来构成一个四维矢量。每个点都是一个四维矢量。嗯，就这样。
还有张量场，度规就是一个例子。这里有两个分量、两个指标，有很多很多分量，都随位置变化。还是写成指标记号，我可以把它写成带指标的。在每个点上，是一个带两个指标的量。以后还会见到旋量场阿尔法是另一个指标，以后定义。
还可以有旋量场，阿尔法是指标。
按惯例。
mu 取0到3。有时我直接写x。这时指四维矢量，x mu 就是 ct 和 x。x 矢量总是指空间矢量。好，就等于 ct 和 xi。
空间指标一律用 i 表示。偏mu就是 c 分之一乘以对时间的偏导。另一部分是空间方向的梯度。四维矢量的惯例是：A0 加上 A 矢量，就是 A0 和 Ai，i 表示空间分量。这是我最后一次写光速。c取1，h bar也取1。
这是为了记号方便。
有问题吗？
好。
现在，有了这些准备，我们讲作用量原理。
经典场的。
先回忆，经典力学里。
我们引入作用量，是拉格朗日量的积分。拉格朗日量是x、x点和时间的函数。所以这是一维的，8比1，一维粒子运动。还可以引入正则动量，定义为L对ẋ的偏导数。然后再定义哈密顿量。哈密顿量与拉格朗日量的关系是p乘ẋ减L，来自勒让德变换。
运动方程是。
由对S取极值得到。
S可以看作轨迹的泛函。对任意轨迹，让S取极值，就得到运动方程。
现在推广到场论。
现在从局域性原理。
场论中按局域性原理。
拉格朗日量的形式。
拉格朗日量L的形式。
场论里，同样把S定义为拉格朗日量的时间积分。
L的形式受到很大限制。
必须长成下面这样。一定得是这个形式。
L等于空间积分，对所有空间方向积分，就是d三次方x。还有对a求和。我先把这些记号写下来，再解释。
好。就写成偏导 i吧。
好，那我现在稍微解释一下这些记号。
首先，这里我用简写，代表各个场，记作phi a。它是空间和时间的函数。
是任意的场。
而a。
标不同的场。
a标记不同的场。
比如a可以标记不同的标量场，有多个标量场时可以区分它们，也可以指代指标。比如时空指标，像mu，等等。总之a标记你有的任意场。好。
然后，第二点是。
这里的L，花体的L。
是函数。
重点是函数。
是phi a的函数。
以及这些导数。
这些导数。
换句话说，这个L，这是个关键点。也就是说，这个L只依赖于phi a 的值。
和这些导数。
在某点。
比如x处。
然后对所有。
比如x，然后对所有x做积分。好。
所以这个L叫拉格朗日密度。
什么？
再说一遍？对对对，好的。
对，后面会讲，会提到。
这里我只是解释一下记号，好吧？
现在我来解释，为什么拉格朗日量。
必须是这种形式。
第一。
局域性原理意味着。
这里必须只涉及单个积分。
因为局域性不允许。
这种项。
比如说。
不允许这样的项。
不允许这种项，也就是包含不同点的phi的项。好，为什么？因为拉格朗日量里有这种项的话，后面你们会看到，哦，抱歉，是L，不是花体L。
如果拉格朗日量有这种项，后面讲运动方程的时候，你会发现方程不是局域的。好，运动方程会包含场在一点的行为，而这个行为会受远处某一点的影响。这样就不局域了。所以局域性是很强的约束。因为一旦放弃局域性，原则上拉格朗日量可以任意复杂，想加多少个积分都行。但因为局域性，只能对一个函数做y积分，这是关键。
那不允许。这是关键。
第二点，我们只允许。
时间的一阶导数。
只允许一阶时间导数，不许二阶。原因是，等你看运动方程就知道，如果在作用量或拉格朗日量里放了二阶时间导数，得到的运动方程会包含超过两个时间导数，对吧？所以呢，这就意味着运动方程只含两个导数，也就是两个时间导数。
这个约束来自我们的经验。道理一样，我们只放一阶时间导数。因为现实中，所有实验都由初始条件决定。初始条件只需要指定位置和速度，对吧？你不需要再指定更多条件；但如果是商运动、导数超过两阶，就需要更一般的初始条件。这里道理一样，只允许一阶时间导数。原则上，空间方向可以放任意阶导数，明白吗？
但为了简单起见，正如我们将看到的，大多数时候我们只考虑狭义相对论下的量子场论。就是有相对论不变性，比如洛伦兹不变性。这时空间和时间地位平等，可以互相变换。时间只有一阶导数。
我们后面的例子，空间方向也都只有一阶导数。但非相对论性系统可以有更高阶的。好，这有疑问吗？
好，那么。
就像经典力学那样，我们可以引入正则动量、哈密顿量等等。这里也一样，可以引入所谓的正则动量密度。
为什么叫密度就清楚了。大家要记住，对phi来说，x只是个标签。你可以这样看这个理论。这理论本质上有无穷多个变量。记号容易混淆。质点力学里x是动力学变量。但这里x只是个标签，对，这里x是个标签。
所以你可以想象这里有无数个自由度，每个都用x标记。想象有很多很多x，它们只是标签。对每一个，我们都能引入动量，每个phi a都引入正则动量。
好吗？phi a上面加点，就是对时间求导，好吗？它定义为拉格朗日密度对phi a时间导数的偏导数。这就是这里的推广。记住，这是在空间每一点上取值的。
每一项，对，这个东西也依赖于x和t。好吗？
哦，这就是大写的pi，对，大写pi。
phi a上一点就是时间导数。
记住，x是标签，这里不起作用。之所以叫拉格朗日密度，因为它确实是个密度。同样办法，也能定义哈密顿密度。
于是我们就有了。
我们定义了哈密顿密度，就是phi a的时间导数乘以pi a。再强调，这些都取在同一点，还要减去拉格朗日密度。这才是哈密顿密度。然后哈密顿量。
对全空间积分，把自由度加起来。
好吗？
就这样。请说。
对，就是这样。就像求和，如果把这个，对，这个a指标要求和。我一直……对，忘了提，好问题：我一直假设用爱因斯坦求和约定。重复的指标都要求和。不管有多少分量，都把a加起来。好，a求和。
这儿。
好。
还有吗？
好。
现在讲运动方程。
这和经典力学一样。
经典场论跟经典力学一样，推广到无穷多自由度。空间每一点，都对应一些自由度。
现在看运动方程。
还是老办法，对作用量变分，让它等于零。作用量还是定义成，拉格朗日量对时间的积分。
S是dt l，可以写成对dt和dx的四重积分，积分这个拉格朗日密度。
我来写一下。
我用最简洁的写法，只假设有一个时间导数，一个空间导数。好，这里的 mu，我把空间和时间导数合在一起。也能直接推广，比如含更多空间导数。
好，这里我们就来做变分。要求德尔塔 S 等于零，就是让 S 的变分为零。现在来算这个 S。
现在是d4x，记住这个密度不是泛函，由于局域性原理，它只是phi a及其导数的普通函数。我们可以直接做变分。写成L对phi a偏导乘德尔塔phi a。
加L对mu phi a偏导。
乘德尔塔 mu phi a。
这时候。
德尔塔是变分，跟 mu 偏导这两个操作互相独立，可以交换，把德尔塔放到里面。就等于德尔塔 phi 的 mu 偏导。
第二项可以分部积分。
现在可以做了，这里稍微别扭，因为动的是偏导数 μ 乘德尔塔 phi a。同样，重复指标都要求和。所以要对它们求和。这里就能分部积分了。
然后就得到 d4x。
得到的就是，L 对 phi a 的偏导，减去 mu 作用在，L 对 mu phi a 的偏导上，然后整体乘德尔塔 phi a。
再加上边界项。
边界项来自这里的分部积分。
你在这里做分部积分。边界项正比于德尔塔 phi a嗯？
这只是任意的变分，任意变分。
还有问题吗？
好。我们总是假定有边界条件，好，这样边界项就等于零。这里就不细讲了。我们总是把 phi a 的变分选得。
让边界项为零。
这项来自分部积分。
第二点请记住，重复的指标是。
要求和的。
那么。
这样边界项为零，不用管它。现在就要求这个等于零。但是对任意变分都得是零，delta x mu 任取。
可以是 x 的任意函数。所以唯一的可能，就是这个前面的系数得是零。这就意味着对 phi a 的偏导减对 mu 偏导项为零。
这就是经典场论里，一般的运动方程。
有问题吗？
好。从现在起，我们做两个限制，好吗？
为了简单。为了简单，我们做两个限制。
大部分讨论可推广到这些情况之外第一个限制是，我们只考虑平移不变的场。
对吧？
就是没有特殊点。就是说，理论里没有特殊的时空点，对吧？在波士顿做实验，和在华盛顿做，结果一样，对吧？如果理论不是平移不变的，那么你在波士顿做实验，结果就会跟在比如纽约做的不一样。第二个，假设洛伦兹不变。
比如有些凝聚态问题，里面没有洛伦兹对称性，但类似方法照样可以用对。这两个方面我们后面都会再多展开讲一点。
好，下面给大家几个简单例子，都是满足这两个条件的经典场论。
第一个例子，是麦克斯韦理论。
它的动力学变量是。
就是这个四维矢势 a mu。
现在我用四维矢量的记号，常常把 x 的指标省略。是四维矢量。
由 a mu 可以定义出场强。
E、B 由 Fmunu 得到。B 从 F mu nu 得到。电磁的作用量就可以。
得到。
这就是电磁场的作用量。不含带电物质。对它做变分得到运动方程，就得到无源麦克斯韦方程组。得到真空麦克斯韦方程组。
你看，这种形式的作用量对应一个局域理论，只是对时空的一次积分。
第二个例子是爱因斯坦引力。
它也是经典场论。
我先把作用量写下来，它写成牛顿常数乘。
g 是度规。不懂爱因斯坦理论也没关系。R 是里奇标量。不知道爱因斯坦求和也没关系，写下来就是想说明：这是局域理论，只涉及某个量的单一时空积分。
接下来是最简单的量子场论，叫标量场理论。
因为我想我把它擦掉了，因为它涉及矢量场。这就是矢量场。每个时空点都有一个矢量。爱因斯坦引力里，动力学变量是张量，甚至更复杂。最简单是标量，每个时空点只有一个数。
我们看最简单的例子，考虑一个。
实的标量。
场 phi。
先取实数，也可以考虑复数，但最简单是实数。每个时空点一个值，这就是动力学变量。
现实中有许多标量场的例子。比如说，有个很有名的希格斯场，它是很多年前发现的，是一个实标量场。还有派介子，派粒子可以看作标量场的激发。
总之呢。
最简单的一类标量场作用量，形式如下。
直接写下这个作用量。
可以论证，这是满足局域性时能写出的最一般作用量。
局域性，还有平移对称性。
还有洛伦兹对称性，洛伦兹指标都缩并了。导数的洛伦兹指标缩并了，这就保证了理论是洛伦兹不变的。V 就是 phi 的某个函数。这里的 V 只是 phi 的某个函数。
这就是最基本的理论，基于局域性能写出的最简单理论。比如一般可以把 V phi 取成多项式。对，它是 phi 的某个函数。
有了平移对称性。
意思是：在这套理论里做实验，处处结果都一样。
这就意味着，这里什么都没有，没有任何参数，V 作为 phi 的函数必须嗯，抱歉，所有参数都在。
V phi 必须是常数。
它们不能依赖时空。
必须是常数。
要是有参数依赖时空，当然，不同的空间位置、不同的时空点表现就不同，就没有平移不变性了。
我们来详细算算这个理论。
先写出拉格朗日量，再试着求它的动量。
哈密顿量。
动量密度。这里只有单个场，所以没有指标。所以 π(x) 就是对这个求导。这是 L。括号内即 偏导 L/偏导 phi 乘 phi。看这里的时间导数，用四维矢量写法，就是 phi 点平方。把它展开，动量密度就是 phi 点，也就是 phi 点 x。因为。
偏导 mu phi，偏导 muphi 等于负 phi 平方加……
然后就能求出哈密顿密度。
π phi 点减 L，然后你会发现它由下式给出：全用动量来表示。
运动方程呢？
代进去，代到这里，得 达朗贝尔算子 phi 加 V′(phi) 等于零这里的 partial square 是简写，定义为 partial mu 乘 partial mu。这就等于负 phi 点平方，加上梯度平方。
再给几个简单例子也就是 V 该怎么取。
最简单。
的情况，就是你可以取。
V 当然可以先取常数。但常数不起作用，所以最简单就是 V phi 等于线性项。
由时间平移对称性，这个 f 必须是常数，不能依赖时空。如果它依赖时空，就会破坏空间平移对称性。运动方程就是 达朗贝尔算子 phi 等于 ff 是常数。
这时，本质上就是有个类似常数的东西作为 phi 的源。这种情况下我们说这个系统有外力。
我们把这个 f 叫做外力。因为只要 f 不为零，phi 就不可能为零，必须是非零的。所以从某种意义上说，phi 会被激发，总会被产生出来，只要 s 非零，就总会产生非平凡的 phi。好，这里我们把它叫做外力。所以通常我们一般不想考虑 f。通常在正常情况下我们会考虑在你们关心的情形里，没有外力。系统自己演化。这种情况下。
那忘了外力，最简单的情形就是V取phi的平方。
取 phi平方，最简单的项，m平方 是常数同样来自平移对称性。
这时，运动方程 达朗贝尔算子 phi 加 m平方phi 等于零。
这是个非常著名的方程。这就叫做克莱因-戈登方程。
下节课大家很快会明白，为什么它这么有名。对，这就是我们能考虑的最简单的一种场论。你还可以考虑更复杂的场论，让V取更高次多项式，或更复杂的函数。方程但记住，取平方很特殊。因为是平方，方程就是线性的。
但只要不是线性或二次的，就会得到非线性方程，事情就复杂了。非线性方程总是很复杂。总之，这就是我们要考虑的最简单的理论。今天就到这儿。
]]>本文是视频《珍珠港之后：80名飞行员单程轰炸东京》（作者：YouTube 原作者）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
一九四二年四月十八日晨。大黄蜂号甲板上，十六架B-25轰炸机准备起飞，为珍珠港报仇。指挥官杜立特中校原计划十小时后起飞，这时瞭望员发现一条日本小船。巡洋舰纳什维尔号奉命脱离编队，击沉敌船。纳什维尔号开火了，炮声在浪花间回响，可那条小船很难打中。
小船剧烈摇晃，船员拼命发报。炮弹在小船四周炸起冲天水柱，随后直接命中，小船彻底被毁。美国人知道电报已经发出去了。杜立特必须立刻起飞，多飞两百英里去东京，B-25已到航程极限。杜立特轰足油门，积蓄动力。B-25从没在航母上起飞过，训练也没有。飞行甲板尽头，信号兵举着格子旗蹲下，等航母沉入浪谷，就放下旗子。
杜立特松开刹车，B-25全功率蓄势待发。轰炸机猛地前冲，隆隆驶过甲板，掠过紧张围观的水兵。时机掐得刚好，B-25冲到甲板尽头，正好大黄蜂号船头被浪托起。
飞机冲破一片水雾，眼看危险地下坠，随后拉起，满载燃油缓缓升空。杜立特身后，其余轰炸机也陆续滑出航母，跟上长机。最后起飞的是威廉·法罗中尉，驾驶十六号机，绰号地狱蝙蝠。法罗满心期待，盯着甲板凝神等待，大黄蜂号在狂风中起伏。投弹手一声大喊惊醒了他。德谢泽下士发现机头有机玻璃破了个洞。法罗知道该上报损伤，但任务多半会取消，他绝不想被落下。他推开油门滑下甲板，机身掠过船头，有一瞬间消失不见。
接着他拉起机头，追上机群。十六架轰炸机轰鸣着飞向日本。没时间和燃油编队，只好拉成几英里长的纵队。飞向东京途中，天气越来越差，飞机消失在低云里。临近海岸，杜立特压到云层下方，飞得极低，躲避雷达和高射炮。他做好了挨打的准备。日军肯定在等着吧。可毫无动静，云层一片寂静。
日军高层没给战斗机和防空部队任何指令。飞过海滩后，机群呼啸着掠过东京郊区。晴朗蓝天里看得一清二楚。平民以为是自家飞机，还朝他们挥手。
突然，副驾驶理查德·科尔中尉一声急喊。杜立特抬头一看，九架日军零式战机正从高空掠过。他只能前推驾驶杆，把轰炸机压得更低，藏进密集的城区。领头零式微微转弯。零式飞行员发现了下方这架孤零零的双发飞机。他盯着看了许久，伸手去拿无线电。
等战机消失，杜立特才松口气，握杆的手也放松了。B-25飞过隅田川，杜立特看到了日本皇宫。这是最后一个地标，目标就在前方几英里。投弹手，开舱门。机头里，布雷默军士俯身在瞄准具上。他伸手按下开关，打开弹舱门。杜立特爬升，把飞机拉到一千二百英尺。为了减重，也防止先进设备落入日军之手，B-25拆掉了诺顿瞄准具。布雷默用的是手工瞄准具，叫马克吐温，没法连上自动驾驶仪。这意味着杜立特得手动保持高度和速度。
布雷默顺着瞄准具望去，目标是一座大军械库。布雷默按下投弹开关，四枚五百磅燃烧弹落下。炸弹一投下，杜立特立刻俯冲到低空。机身变轻，轰炸机开始加速。
身后，每枚集束炸弹炸开，撒出一百二十八颗小炸弹，随风散落到目标区。小炸弹飘飘落地，落在兵工厂的木建筑上，顿时燃起几十处火苗。火势迅速蔓延，汇成一片大火。日本防空部队这才惊醒，赶紧行动。警报响彻全城。炮手冲向瞄准具，把二十五毫米高射炮摇向天空。他们发现杜立特的轰炸机，立刻疯狂开火。但毫无准备，难以瞄准这架高速飞机。炮弹呼啸升空，在杜立特逃走的B-25周围炸开，机身随爆炸不停摇晃。他压低机身左右摇摆，灵巧地躲开日军炮火。东京消失在身后，炮声渐渐远去。杜立特朝中国的最终目的地飞去。
日本首都中心燃起几十处大火，其他轰炸机也开始逼近各自目标。十号机上，乔伊斯上尉把炸弹投向东京湾附近的一家钢厂。炸弹落下时，每颗后面都拴着一块小铁牌，在铁丝上飘动。这是两国仇恨的象征，美军把战前日本颁发的友谊和平奖章挂上炸弹。炸弹炸毁钢厂，滚滚黑烟冲天而起。巨大的冲击波击中B-25，机身猛地一震。
高射炮火铺天盖地，乔伊斯在驾驶座上拼命稳住操纵杆。
炮弹在四周炸开，他把飞机忽左忽右地摆。敌人炮火越来越准，一批弹片撕开炮塔，金属碎片打中霍顿军士。乔伊斯对着机内通话喊，霍顿，你没事吧？一时没人应。随后霍顿回答，我这边没事！好，很好，保持警惕。乔伊斯再次压低飞机，在炮火中穿行，直到飞离东京，炮声才停。机组人员警惕地扫视天空，准备飞往中国的漫长航程。突然乔伊斯惊恐地听到副驾驶喊叫。
九架日本战斗机就在上方几千米处。乔伊斯盯着天，盼着敌人没发现自己。他眼看着两架战斗机翻滚，开始俯冲。两架日军九七式战斗机，呼啸着朝B-25扑来。日本飞行员把引擎推到极限。他们要为燃烧的首都复仇。驱动他们的不只是伤亡，更是被人偷袭的耻辱。
乔伊斯推杆加速俯冲。剧烈的机动，把霍顿颠得七荤八素。他周围，双管点五十机枪的弹链飞上半空，扭成一团，机枪没法用了。敌机几秒就逼近了，霍顿还在拼命解开弹链。弹链不解开，B-25就毫无还手之力。一名日本飞行员把轰炸机套进瞄准具，扣下扳机，双管七点七毫米机枪喷出弹雨。子弹擦着左翼飞过。B-25毫无还击，日本飞行员从容修正瞄准，再次开火。
这回子弹打中了，撕开B-25的左翼。日本飞行员猛推油门，呼啸掠过，转弯准备再攻。座舱里，乔伊斯快速检查损伤。B-25的左翼尖整个断了，金属碎片坠入气流中。机身失衡开始抖动，乔伊斯蹬舵修正阻力。他勉强让B-25飞直，但第二架日机已经逼近，准备进攻。
霍顿快解开弹链了，但还需要时间。日本飞行员把B-25套进瞄准具。他打出一串子弹，打在机身各处，又命中了！可日本飞行员并不高兴，只有满心恼火。他的七点七毫米机枪威力太弱，打不穿机身，只留下几个小孔。乔伊斯猛拉机头，躲避下一轮扫射。轰炸机结实，但不是打不坏。机枪又开始还击了。几秒后，机尾传来喊声，霍顿终于修好点五零机枪。
他瞄准日军战机，扣动双联机枪扳机。机枪哒哒作响，零式逼近。子弹撕开敌机引擎，飞机起火，朝地面栽了下去。还剩一架日机，正绕过来再次进攻。日军飞行员咬牙开火，子弹擦着轰炸机上方掠过。敌机呼啸而过，随即脱离。霍顿猛烈扫射，终于命中。子弹打穿机身，敌机拖着浓浓黑烟。日机无力再战，掉头逃向安全方向。
轰炸机安静下来，只剩引擎轰鸣。乔伊斯测试舵面。虽有损伤，飞机仍然平稳直飞。沿日本海岸再往前，最后一架美军轰炸机正接近目标。中尉威廉·G。法罗飞向名古屋附近的炼油厂，远离其他杜立特队员。他俯冲到五百英尺，打开弹舱投下炸弹。他拉起机头，燃烧弹散布炼油厂，炸出上百处爆炸。烈焰和燃烧的油溅满名古屋街头。
法罗调转飞机，呼叫领航员乔治·巴尔少尉，命令他规划飞往中国的航线。巴尔趴在地图上算油量。各种方案算了好几遍，结果都一样。提前十小时起飞，多飞了几百英里。他们的油料撑不到陆地。机组成员把备用油倒进机内油箱。他们划开金属油罐，让它下沉，免得暴露位置。再把罐子扔进海里。可油还是远远不够。大家都知道，只是没人说出恐惧。
法罗俯瞰下方海面。天气越来越糟，乌云密布，海浪翻腾。在海面迫降，没人找到就会淹死。必须飞到中国。前方的杜立特机组也是同样结论。上校掂量着命运，太平洋凶险的海水在机下翻涌。杜立特的领航员汉克·波特少尉报告：风向转为顺风，正推着B-25前进。这多出每小时二十五英里，也许刚好够飞到中国。杜立特默默祷告感恩。主与我们同在。地平线上乌云聚拢。接近中国海岸时，他们闯进大雨浓雾。能见度骤降到近乎为零，飞机在风中颠簸。杜立特死死把住操纵杆，全靠仪表保持航向。他呼叫衢州机场，无人应答。
地勤还要十小时后才会等到B-25。没有无线电引导，这种天气没法安全降落。唯一的办法。
一瞬间的静止后，机组立刻行动起来。他们背上降落伞，抓起机密文件，一个个跳出去，消失在黑夜和狂风中。
最后只剩杜立特。他最后看了一眼轰炸机，跟着跃出舱门。气流把他卷进灰色乱流。
伞衣在头顶张开，呼啸的风声静下来，只剩风雨声。他想操控降落，可风雨黑夜，什么都看不见。他重重砸在地上，剧痛从脚踝窜上来。他落在一片稻田里，又湿又黑，孤身一人，不知身在何处。同一股顺风推着乔伊斯伤痕累累的B-25抵达中国海岸。乱流中机身发抖，他呼叫电台。衢州机场依然没有信号。和杜立特一样，他别无选择，命令全员跳伞。他们一个个降落在田野里，被中国人救起。法罗驾机随后赶到，发现还是没有电台信号，他没有跳伞，而是继续往西飞，希望天气好转，能迫降保住这架宝贵的飞机。
B25冲破暴风雨，天空放晴，法罗又燃起希望。云层散开，脚下城市灯火闪烁。法罗喊领航员乔治·巴尔，问这是哪儿。
巴尔惶恐地看着地图。这是南昌。他们直接飞进了日军占领区。在这儿跳伞几乎必被抓住，可飞机油已耗尽。不想坠毁，就只能跳。他们把柯尔特手枪和备用弹药塞进工装，还带上香烟巧克力。最后揣好家人照片，接着他们跳伞，从舱口跃入敌区。几秒内，风把他们吹向不同方向，散落到乡野各处。法罗摔进一个小村外的田里。他一时瘫在泥中，喘不上气，晕头转向。
他听着雨声，还有B25远去的轰鸣。掏出救生指南针，朝中国控制区走去。可刚走几步，黑暗中传来人声。日军已经在搜这一带了。他伸手摸枪，又停住了。现在开枪只会害死自己。一道强光晃得他睁不开眼。日军喊他投降。城内一处哨所里，法罗被推进空屋，按到长凳上。跳伞后他头一回听到美国人的声音。
机组成员都在。日军把他们从南昌郊外一个个抓了回来。法罗稍稍松了口气。弟兄们都活着，可这也意味着他们同赴厄运。八个人如今都成了日本帝国的俘虏。几个月的殴打、水刑和精神折磨之后，日军逼他们签下假口供，承认蓄意攻击平民。八人被押到上海接受公审，被判蓄意攻击平民罪，处以死刑。
裕仁天皇出面干预，救下其中五人，另外三人的死刑维持原判。一九四二年十月十五日，威廉·法罗、机枪手斯帕茨和霍尔马克被带出去，被绑上刑架，执行枪决。剩下五人被送进日军战俘营，一直关到战争结束。罗伯特·米德一九四三年十二月，死于脚气病。
幸存的四人熬过多年残酷关押，一九四五年八月战争结束才获释。其余机组抵达中国后，几乎都被迫跳伞、迫降或落水，过程中三人丧生。有一架轰炸机改变航线，安全降落在苏联港口城市符拉迪沃斯托克。杜立特回国，还担心因损失被军法审判。结果他在一九四二年五月获颁荣誉勋章，还升为准将。
]]>本文是视频《关灯后光去哪了？光子的一生彻底讲清》（作者：Carter Studios - Physics）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
你关灯，房间一下子黑了。这事你干过几千次，从没多想。仔细想想吧。刚才房间里满是光。亿万颗光的小粒子，叫光子。光子从灯泡涌出，撞上墙、天花板、床和你的脸。屋里挤满了它们。你一按开关，它们全没了。它们去哪了？掉到地上了？被吸回灯泡了？还躲在角落，还是干脆消失了？真相意外。一些光子不到百万分之一秒就没了，变成你能感觉的热。有些进了你的眼睛，有些穿出窗户，现在还在飞，冲向太空，可能要飞几十亿年。剩下的黑暗呢？其实一点不空。跟着光看看它去了哪。先回忆下，光是什么。光由一份份能量组成，叫光子。每个光子像一滴光。它没有质量，只带一点能量。
就像之前视频说的，光子一出生就以光速飞，每秒大约三十万公里。光子有点怪。有些实验里它们像粒子，像雨点一颗颗落下。有的实验里，它们像波，会散开重叠，像池水的涟漪。物理学家认为两者都对。这条视频里，就把它们当成发光的小雨点，沿直线飞。光子从哪来？拆开LED灯泡看看。LED里有块特殊材料的芯片。通电时，电子被推过芯片里的一道边界。电子落到低能量的位置时，会多出一点能量，就放出一个光子把它扔掉。老式灯泡不一样。电流通过一根很细的灯丝，把它烧到发亮。热灯丝里的原子抖得太厉害，不断甩出光子。热炉子发红就是这个道理。关键都一样。
光子不是提前存在灯泡里，而是用能量现造的。电一进来，光子当场诞生，马上以光速飞走。这很重要：光子的一生有明确起点。
它也有明确的终点。先看看你屋里有多少光子。家用LED灯泡大约十瓦。只有一部分变成可见光，但光子的数量还是很吓人。它每秒发出约千亿亿个光子，就是一后面十九个零。打个比方，如果每个光子是一粒沙，灯泡亮一秒的沙子，能装满几千个奥运泳池。下一秒又来几千个池子。这么多光子涌出，你可能会想屋里一定挤爆了。某种意义上是的。但意外的是，它们待不久。如果冻住时间，数数某一瞬间的光子，会发现远比想的少，约一万亿个。
听着还是很多，但比灯泡每秒造的少几百万倍。为什么？因为每个光子活得极短。灯泡像水龙头，往底下漏了大洞的桶里灌水。水涌进来，又很快漏掉。桶总也装不满。屋里的光是流动的，不是存货。光子造出来，又消灭。一秒反复上万亿次。你看到的亮度只是两者的平衡。所以关灯，就是关掉水龙头。问题是，桶漏得多快？水去了哪？揭晓之前，先帮个忙。喜欢的话，想看更多简单讲物理的视频，就订阅并打开铃铛通知。
这对频道帮助很大，也不会错过下期。好，按开关。把时间放超慢，看关灯那一瞬发生什么。
首先，电流不再进灯泡。LED里，电子不再越过芯片里的边界，新的光子就造不出来了。水龙头关了。灯泡一瞬间就暗下去。但飞出去的光子，不知道开关被按了。它们已在屋里飞。什么都叫不回。只会以光速沿直线飞，直到撞上东西。在屋里，它们飞不远。普通房间也就几米宽。以光速，光子穿过这样的房间只要十纳秒，也就是十亿分之十秒。多短呢？蜂鸟扇一次翅膀，要花几百万倍的时间。眨一次眼的工夫，光能穿屋几千万次。所以关灯后一瞬间，每个光子都撞上了表面。墙，天花板，地板，床，皮肤，还有你的眼睛。光子撞上表面，只有两种结果。
要么弹开，要么被吞掉。弹开的话，它会换个方向继续飞，直到撞上别的东西。被吞掉就到此为止。要知道光子去哪，两条路都得跟。先看弹开的。光子撞上表面，是弹开还是被吞，看表面材质，也看光的颜色。颜色就是这么来的。白墙看着白，因为它把大部分光都弹回来了。黑沙发看着黑，因为它几乎把光全吞了。红垫子看着红，因为它弹回红光，吞掉蓝光绿光。你看到的颜色，就是弹开后活下来的光子。一面白墙，能把大约百分之八十的光弹回去。听着不少吧。也就是说，关灯后光子不会撞一次墙就停。它们会弹，再弹，一直弹。
但每次弹开都是赌一把。撞白墙一次，光子约有五分之一被吞。撞深色面，更危险。每弹一次，存活的光子更少。弹十次，只剩约十分之一。弹二十次，只剩约百分之一。弹五十次，只剩十万分之一。别忘了这有多快。横穿房间约需一亿分之一秒，弹五十次也才约两百万分之一秒。也就是说，关灯后百万分之一秒内，房里光子几乎全被吞掉。所以一下就黑了。你的眼睛反应要十分之一秒，根本来不及。对你来说，黑暗和关灯是同一时刻。
光几乎全被吞掉。那这是什么意思？光子被吞后去哪了？光子被表面吞掉，物理学家叫它被吸收。最惊人的是，光子被吸收后，哪儿也没去。它不再存在。听着不可能吧？东西怎么会消失？放大看看。墙是原子组成的。原子周围有电子。光子一来，能把全部能量交给一个电子，或交给原子。这一刻，光子没了。不是藏起来，是真没了。只剩能量，给了它撞上的材料。很多人觉得意外，我们习惯东西守恒。球推进箱子还在箱里。光子可不是这样。宇宙里光子数量不固定。能量能造光子，比如灯泡，光子也能变回能量。守恒的是能量，不是光子。这些能量去哪了？大多变成了热。
还记得熵那期视频吗？热就是微粒在抖动。光子被吸收，能量让墙里的原子抖得更快一点。抖得快，温度就略高。每次开灯，光都在加热墙，家具，还有你。只是很轻微。所以大晴天黑车才那么烫，它几乎吸收全部阳光，变成热。白车弹回更多光，就凉快些。这是第一个答案。关灯后，房里的光子几乎全被墙和东西吸收。它们消失了，只留下一点点暖意。
但有些光子去了更有趣的地方，你体内。有些光子没撞墙，直接飞进了你的眼睛。只有这些光子，你才真正看到。细想很有意思。你从没直接看到墙，看到的只是弹进你眼里的光子。你见过的每张脸，每场日落，书上每个字，都是到达眼底的光子图案。每只眼睛底部有一层薄膜，叫视网膜。里面有几百万感光细胞，叫视杆和视锥。
视锥帮你在亮处看颜色。视杆特别灵敏，管暗视觉。细胞里有种特殊分子，光子一撞就变形。光子一到就被吸收，跟墙上一样。只不过能量把分子掰成了新形状。这点小变化，在细胞里引发连锁反应，电信号沿神经传到大脑。进眼的光子不会弹出去，它们被吸收，能量变成信号。可以说，你看到的每个光子都献出了生命。实验显示，视杆连单个光子都能感应。在足够黑的房间，眼睛适应后，人能察觉仅几个光子的闪光。你也许注意过，关掉亮灯后，眼前有时还有个微光的影子。这叫残像，但那不是剩下的光子。光子早就没了。是眼细胞受强光刺激后恢复，还在给大脑发信号。
所以关灯后确实很黑。但真的一无所有吗？也不全是。有件事很神奇。
就算关了灯，房间里也全是光子，只是你看不见。记得吗，灯的光子被吸收时，让墙壁原子抖得快了一点。抖动的原子会做件有趣的事。它们自己会发光。只要有温度，就一直在发光子。很烫的东西，像炉圈、老灯泡的灯丝，会发可见光，所以发红、橙或白光。但凉些的东西，像墙、家具、你的身体，发出的是红外线。红外线跟可见光差不多，只是波长更长，光子能量更低。眼睛看不见，但皮肤能感到暖。手靠近暖气或篝火时，感到的暖，多半是红外线打在皮肤上。所以黑房间里，每个表面都在发红外线。墙在发光，地板在发光，你也在发光。
其实你的皮肤三十多度，一直在发出几百瓦的红外光。你没冷到室温，因为墙也在照你，回光差不多一样多。夜视热成像就这么工作。它们完全不需要光，看见的是温热物体的红外光。消防员用它能在浓烟里找人，救援队夜里能从直升机上发现人。这跟我们的故事有关了。灯的光子能量没消失，变成了热，现在又变成红外光子发出来。某种意义上，灯的光没完全消失，只是变成了你眼睛看不见的光。房间的黑暗不是空的，充满了看不见的光。有种材料，似乎打破了光会瞬间消失的规律。你小时候可能玩过：天花板上的夜光星星，夜光表针的手表，或关灯后微微发亮的玩具。
它们是抓住光子存起来，之后再放出来吗？不完全是，但做法同样聪明。夜光材料里有特殊物质，常见的是铝酸锶做的晶体。光照到时，光子被吸收，跟墙一样。但能量不直接变热，而是把晶体里的电子推到更高能级。妙招在这儿。这类材料里，电子会卡住，掉进小陷阱，像球卡在半山腰的小坑里。它们很难掉回去。慢慢地，周围原子的轻微抖动推一把，被困电子就一个一个逃出来。每个电子落回原位时，把多余能量放出来，变成全新光子。那就是夜光。所以天花板星星发的光，不是原来灯的光子，那些早被吸收掉了。
这些是新光子，能量存在材料里，几分钟甚至几小时慢慢释放。就像用桶接雨，和用雨水灌水塔，再从水龙头慢慢放水。水龙头放出的水是新的，但靠的是之前下的雨。所以光子也不会逗留。留下的是能量，灯灭了许久，材料才慢慢把它变回光。目前我们追的是留在屋里的光子。
那跑掉的光子呢？如果房间有窗，有些光子根本没碰到墙，直接穿过玻璃，飞进夜里。玻璃透明，是因为大多数可见光子直接穿过，不被吸收。出了窗，它们继续直线前进。很多会撞上附近的东西：树、邻居的墙、马路。有些被空气里的灰尘和水汽散射。这也是城市夜空有淡淡橙光的原因，叫光污染。那是几百万盏灯的光，在头顶空气里散射。但有些光子直冲天上，一路没东西挡。穿过越来越稀薄的大气，不到一毫秒，就进了太空。宇航员和卫星就是这样拍夜晚地球的。看到那些著名照片，城市灯火铺满大陆，那是路灯、房屋和窗户逃出、飞上太空的光子。某个夜晚，你家灯的光也许就上过这种照片。光子一旦进了太空，神奇的事就来了。
太空里几乎没东西可撞，空得难以想象，光子就一直飞，一秒多就过了月球。几分钟飞过火星轨道，几小时就出了外行星。不到一天，它就超过旅行者一号，人类最远的探测器。只要一天，你家灯光跑的路，就比我们造过的任何东西五十年飞的都远。它还不停下。之前光年那期讲过，星星之间空得难以想象。一颗飞出太阳系的光子，可能飞上好几年。几百年甚至几百万年，什么都不撞。大约四年后，它就飞过了最近恒星的距离。十万年后，如果它朝银河系飞，就能横穿整个银河。要是它飞出银河系，进了星系之间的大空隙，能一直飞几十亿年。光子不会累，也不会坏。
空旷的太空里，光子一直飞，直到被吸收。可能是气体云、行星或恒星，也可能落进远方谁的眼睛或望远镜。我们每天看到星光，就知道是真的。你望向远处的星星，接住的是它几百年甚至几千年前发出的光子。天文学家看最远星系时，接住的光子已飞了一百三十多亿年。最古老的光充满全宇宙。大爆炸后不久，宇宙满是炽热发光的气体。等它冷却得够久，大约开头三十八万年后，光终于能自由飞行。这些光子一路飞到今天，无处不在。天空四面八方都有微光，叫宇宙微波背景。有些光子此刻正穿过你的房间。但长途飞行中，光子有一样东西会变。宇宙在膨胀，空间拉伸时，也会拉伸穿过的光。
光子的波长变长，能量变少。可见光慢慢变红，再变红外线，最后变成微波。这叫红移。你家灯光的光子若逃进深空，飞几十亿年后，会慢慢变成更长更弱的波。但它还在，横穿宇宙，带着你开灯那一刻的小小印记。
小时候你可能想过：能不能把光装进罐子存起来？开灯时盖上盖，黑暗时再打开。但从来不行，罐子内壁一瞬间就吸收光子，跟你房间墙壁一样。科学家找到了聪明的办法留住光。一种是用镜子。实验室里最好的镜子，能反射百分之九十九点九九九的光。两面对着放，光子能在中间来回弹几十万次，最后才被吸收。这样能把光困住约千分之一秒，对光子来说很久了。另一个办法更奇怪。让时间暂停那期讲过物理学家莱娜·豪，她的团队在超冷原子云里，把光减到自行车速度。二零零一年，她的团队更进一步，让光脉冲完全停下，存住，再放出来。
其实是光的信息被复制进原子，像写下来一样，之后再用来重现光。类似地，中国一个团队二零二一年报告，把光的信息存在特殊晶体里约一小时。实验不只是猎奇。它们能帮着造未来的量子计算机和超安全通信网，让光携带的信息能随时存取。
我们跟着灯的能量走到最后。电流进灯泡，变成光子。关灯后约百万分之一秒，几乎所有光子都被墙、家具和你吸收，能量变成热。热量又变成看不见的红外光。这些光子又被吸收再放出，能量不断传递，最后有些漏出屋子，暖了外面的空气。那整个地球的热呢？地球一直在向太空放出红外光。在熵那期视频里，地球从太阳收到明亮集中的光，再把它们变成更多低能红外光子送出去。向四面八方散开。到最后，你家灯的能量也汇入这条流。其中一小部分最终变成微弱红外光，离开地球飞向宇宙。留个想法给你。
每次你关灯，都在看一个小小的宇宙故事。光被产生、飞行、反弹、吸收，能量散开。大部分变成热，温暖你周围的世界。少数光子进了你的眼睛，让你看见。少数幸运儿溜进太空，可能再飞几十亿年。光不会真的消失，只是换形式继续走。喜欢的话，看看光速从哪来的视频。下次关灯时，想想光子正冲出窗户飞进夜空。感谢观看，下期见。
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此时此刻，你身体里就有存在了几十亿年的电子。地球形成前它们就在，太阳点燃前也在。它们从没停过，也没慢过，更不用充电。没有发动机能这样。陀螺会晃着倒下，钟摆会慢慢停下。连行星都会在漫长岁月里损失一点轨道能量。那电子怎么就能一直动，好像永远不耗尽能量？听起来很简单，像好奇小孩问的。但二十世纪初，这个问题把物理逼进了危机。
按当时最成功的理论，宇宙里每个原子都该瞬间垮塌。按一九一零年的物理，你能存在是不可能的。想搞懂为什么，得看问题里藏的两个假设。一是运动需要持续供能。二是电子像小物件那样运动。这两个假设都很自然，但都错了。先看第一个。近两千年里，人们信奉亚里士多德的想法：物体要一直被推，才会一直动。推车一停，车就停。这太符合经验，显得天经地义。但十七世纪，伽利略和牛顿证明，这从根本上错了。牛顿第一定律说，运动物体保持同速同向，除非有力作用在它身上。
运动本身不花钱。那滚动的球为啥会停？因为它不断把能量丢给周围。地面摩擦、撞上空气分子、球的形变，都把运动能量变成热。能量没有消失。能量守恒是科学里验证最充分的原理：能量不会凭空产生或消灭。它只会变形式。物体变慢，是因为能量有了去处。这改变了我们的问题。真正谜题不是谁推着电子动，而是它为啥从不丢能量。
要答这个，得先知道电子是什么、住在哪。
汤姆孙研究阴极射线，高压下密封玻璃管里会发光。他用电磁场偏转射线，发现射线是带负电的微粒，比任何原子都轻得多。他发现了电子。原子不带电，汤姆孙就提出：电子嵌在弥散的正电荷球里，像葡萄干嵌在布丁里。但这图景没撑多久。一九零九年起，在卢瑟福实验室，盖革和马斯登用阿尔法粒子轰击极薄金箔。几乎所有粒子直接穿过，极少数大角度弹开，有的几乎原路弹回。卢瑟福说，这就像炮弹打纸巾却被弹回。一九一一年，他解释了结果。原子的质量和正电荷，几乎全挤在又小又密的核里，其余基本都是空的。顺理成章，可以把原子想成迷你太阳系，电子绕核转，像行星绕太阳。
靠电力而非引力拉住。图景很美，也是灾难。
问题出在麦克斯韦的电磁理论。它把光解释成电场磁场传播的波。它有个核心预言：加速的电荷会辐射电磁波。这不是空想。无线电天线就是这样：来回推电子，让它广播电波。关键来了。圆周运动的物体一直在加速，因为方向在变，哪怕速度不变。所以绕圈的电子该不停发光。辐射带走能量，这就是电子版的摩擦，能量有了出口。丢了能量，电子该螺旋坠向原子核。物理学家算出氢原子的垮塌时间：大约一百亿分之一秒。转眼间，所有原子都该塌了。
还有第二个疑点。螺旋收缩的电子，该发出连续渐变的颜色。可真实原子不这样。氢气加热后，只在几条清晰的颜色上发光。一八八五年，瑞士中学教师巴尔默，找到个简单公式，能算出这些可见光波长，却没人知道为什么成立。一九一三年，丹麦物理学家玻尔提出大胆想法。他提出，电子只能待在特定轨道上，而且在轨道里，根本不辐射。只有电子在两条轨道间跳跃时，才发出光，能量差决定颜色。玻尔模型精确复现了巴尔默公式。但玻尔没解释轨道为何特殊，加速的电荷为啥不辐射了，他只是直接宣布。
想找到真正的原因，物理学家得放弃一个最基本的假设：电子根本是沿路径运动的小粒子。
第一个裂缝来自法国物理学家德布罗意。一九二四年，他提出个近乎荒唐的想法。光一直被当作波，既然也能像粒子，那电子这类粒子，会不会也能像波？他还算出波长，等于普朗克常数除以动量。普朗克常数极小，决定了量子效应的尺度。物体越快越重，波长越短。棒球的波长小得离谱，根本看不出波动。原子里的电子，波长差不多就是原子大小。三年后，这个想法被证实了。美国的戴维森和革末，还有英国的汤姆孙，把电子束打到晶体上，观察衍射图样。只有波叠加干涉，才会出现明暗相间的条纹。有趣的是，老汤姆孙证明了电子是粒子，他儿子证明了电子也是波。
这立刻说明了为啥只有特定轨道。想想吉他弦，两端固定，只能以正好匹配长度的模式振动。一个峰，两个，三个，绝没有两个半。受限的波自然允许一组频率。同样，被原子核束缚的电子波，只能以匹配的模式存在。量子化不再是外加的规则。它从波动本身自然产生。一九二六年，奥地利物理学家薛定谔写下了描述物质波的方程。简单说，薛定谔方程比较电子的动能，和它在原子核电场中的势能，找出哪些波能稳定存在。对氢原子，解不是圆形轨道，而是三维的电子云。最低的那层是完美球形，靠近核的地方最密，往外渐渐变淡。没有轨道，没有绕圈。
玻恩很快给出解释：波在某点的强度，就是在这找到电子的概率。现在说关键。每种允许的模式都有精确能量，这种状态叫定态。波在数学上确实振动，但概率云，也就是电荷分布，完全不随时间变化。它不转，不脉动，也不来回晃。记得经典电子为何必死吗？辐射来自加速的电荷，来自变化。电荷分布完全不变，就没东西可发射，就像天线没有振荡电流。本该瞬间耗尽原子的机制，根本无从下手。但这引出一个问题。
如果云完全静止，电子就是待着不动吗？量子力学给出相反方向的惊人答案。一九二七年，海森堡证明，位置不确定度，乘上动量不确定度，不会低于普朗克常数定下的固定值。把电子压进更小的空间，它的动量就必然更散。电子被困在零点一纳米里，动量不能为零，不能静止。这也是原子有这个尺寸的原因。核把电子往里拉，降低电能，但束缚越紧，动能越高。基态就是总能量最低的折中，得到的半径叫玻尔半径，约零点零五纳米。真惊人。氢原子基态中，电子的平均动能约十三点六电子伏，电势能约负二十七点二。
总和是负十三点六，正好是把电子拉出来的能量。典型速度约每秒两千二百公里，约光速的一百三十七分之一。这运动为何永不停息？基态就是电子可能的最低能量。要放能，就得掉到更低的状态，可没有更低的了。想象山谷底部的球，但有关键区别：量子世界里，谷底也有运动，这叫零点能。电子不用烧燃料运动，它就在谷底。这也澄清几个误解。电子自旋由一九二二年的施特恩格拉赫实验测出。常被画成小球自转，其实不是。真那样算，电子表面就得超光速。自旋是内禀角动量，没有经典对应。电子有时确实会丢能量。激发态电子放出光子，掉回低能级，通常只需几纳秒。
所谓的定态，为何会衰减？答案来自量子电动力学：就连真空也有电磁涨落，会推激发态电子往下掉。真空效应不只是理论。一九四七年，威利斯兰姆测到氢能级的微小偏移，只有它才解释得通。而基态再没有更低处，电子就永远待着。这就引出一个尴尬问题。电子不用供能就永远动，这不就是永动机吗？物理学明明说不可能。关键看永动机的定义。物理禁止的，是永远输出有用功的机器。不给能量就转轮子、点灯泡。这违反能量守恒和热力学定律。基态电子不是这种机器。想榨出能量，它就得掉到更低态，可最低已经到头了。
它的运动真实，却被锁死，永远取不出。零点能不是数学虚构，它有可测的影响。比如氦，常压下降到接近绝对零度还是液体。因为原子的零点运动太猛，挤不成固体。但这份能量收不走。想从零点能白拿电的装置，误解了它为何恒定。
它是底线，不是水库。单个原子稳了，还有更大的谜。普通物质有海量原子互相挤压。它们为何不合并，电子不断挤向邻近原子核，最后全压成一团？单靠不确定性原理还不够。缺的一环由泡利在一九二五年找到。他的不相容原理说：两个电子不能占同一量子态。低能级占满后，后来的电子只能往上挤。这就是原子有壳层，元素有化学个性，元素周期表长成那样的原因。证明这些规则真能保证宏观物质稳定，花了几十年。一九六七年，弗里曼戴森和伦纳德给出严格证明。一九七五年，利布和蒂林找到了简洁优雅得多的证明。
结论很深：没有不相容原理，物质不光不同，根本撑不住形状。桌子的坚硬归根到底是量子效应。这原理在天文尺度也起作用。像太阳这样的恒星烧完核燃料，核心会缩成白矮星。它接近地球大小，却有大半个太阳的质量。撑住它抗引力的不是热，是电子拒绝共享量子态。电子简并压有上限。三十年代初，钱德拉塞卡证明，超过约一点四倍太阳质量，就顶不住引力。
回到身边，一根铜线也有意外。接近绝对零度，导电电子仍以每秒约一百万米飞驰。不相容原理把它们逼进高能态。但电流通过时，电子整体漂移慢得惊人，每秒不到一毫米。这里能量真会损失。电子撞上振动原子和杂质，电线就发热。这就是电阻，除非材料变超导。一九一一年，昂内斯把水银降到绝对零度上约四度，电阻竟然消失了。解释由巴丁、库珀和施里弗在一九五七年提出：电子结成对，在一个相干量子态里集体移动，普通散射打不散。超导环里通上电流，多年不衰减，测不出变化。
这最直观地说明：运动没处丢能量，就一直继续。超导磁体现在用于核磁共振，也在大型强子对撞机引导粒子束。那电子能永存吗？电子是带电荷的最轻粒子。电荷守恒，它没有更轻的粒子可衰变成。实验直接验证过这一点。二零一五年，意大利波雷西诺探测器没发现电子衰变，并定出电子寿命超过约六万六千亿亿亿年，大约是宇宙年龄的五百万万亿倍。这只是实验上限，不证明永恒，但从没发现衰变证据。真正不确定的是苏普勒。
量子力学能极其精确地预言电子的行为，但没人测量时，电子在干什么，物理学家仍有分歧。标准诠释里，问它走哪条路没有意义。玻姆力学里，电子始终有确定位置。氢原子基态中，它其实是静止的，被波的结构固定住。别的诠释又给出不同图像。所有可测预言都一致，所以实验一直无法裁决。电子日常意义上动不动，这层仍是悬案。但核心问题的答案很明确。电子不会耗尽能量，它根本没在花。运动不烧油，停下才耗能。定态里电子的电荷分布不变，所以不会辐射。束缚让它永远静不下来，基态让它不会再往下掉。
泡利不相容原理把这稳定性变成原子结构、化学、固体，甚至死星。原来躁动的电子不是在对抗宇宙的静止趋势。它已经以自然允许的方式静止了。宇宙的最低能量不是寂静，是拿不走的运动。再见。
]]>本文是视频《飞了49年一物未撞，旅行者1号是怎么活下来的？》（作者：SpaceGem）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
旅行者一号飞了四十九年，时速三万八千英里，穿过小行星带，越过木星越过土星，飞出了太阳自身的最外边界。这么多年里，没有任何东西狠狠撞上它。石头没有，小石子也没有。但这还不算怪。奇怪的是，小东西撞上时它听到了什么，还有在深处黑暗中，撞击突然停止的那一刻。没人能解释这份安静。二零二六年十一月十八日,旅行者一号将越过人类造物从未到过的线，带着一件比地球活得更久的东西。
好莱坞最爱小行星带：乱石横飞，巨石擦身而过，飞船千钧一发地穿梭。旅行者一号去木星时穿过它，什么也没躲。那里有几百万颗天体，但平均相隔约六十万英里。相邻两块石头之间，比地月距离的两倍还多。站上随便哪颗小行星，天空中大概一颗也看不见。把场景缩小到旅行者只有蚊子那么大。按这个比例，两颗小行星的间距约有八百英里。比纽约到芝加哥还远，两头各一块石头，中间一只蚊子。想想看，它能撞上东西的机会有多大。这就是小行星带，太阳系最吓人的地方，其实是片沙漠。答案就是这样吧？宇宙太空旷，旅行者是运气好？可不止是运气。
旅行者其实被撞过很多次，我们清楚那声音什么样。从一九九零年起，它就瞎了。那年情人节，远在三十七亿英里外。团队让相机最后一次转向我们，拍到地球只是不到一个像素的小点。然后相机关了，永远关了。就算有石头飞来，它也看不见。但它能感觉到。两根细天线各长约十米，从机身伸出，属于等离子体波仪器，专门听太空稀薄气体里的电波涟漪。它本来不是用来探测尘埃的。到了土星，艾奥瓦大学物理学家格内特带领的仪器团队数据里有怪东西。尖锐突然的爆裂声。
每一声都是一粒尘埃，比头发细得多，撞得太快，直接汽化成一小团带电气体。这团气体扫过天线，仪器听到一声咔哒。在海王星，旅行者二号每秒最多挨两百八十下。一场只能听的冰雹。行星甩在身后很久了，旅行者一号还听得见。一九九七年,格内特团队翻出深空录音，逐个检查每个尖峰。在约五十倍日地距离内，他们发现少而稳的撞击流。十一小时左右的录音里有二十七次。
过了那个位置，咔哒声就停了。录音质量一样，按同样频率该再录到二十七次左右。结果一个都没有。旅行者二号更早也安静了。团队承认没有明确解释。他们猜测是彗星脱落的尘埃，分布不均。总之那边的尘埃也是一块一块的。旅行者穿的不是均匀的薄雾，而是一段段空档，仪器什么都探测不到。
二零一二年八月二十五日，离家一百一十亿英里，旅行者一号穿过日球层顶。就是太阳风吹出的泡泡的边界。它的孪生兄弟六年后也穿过，测了另一侧气体的温度，大约五万四千到九万华氏度。比所有人预测的都热，旅行者却毫发无伤地穿过。因为温度只测每个粒子飞得多快。真正烫人的是打到你皮肤上的粒子数，而那边几乎没有。二零一三年太阳爆发，让那气体像钟一样震荡，震动的调子暴露了它的密度：每立方英寸约一个电子。你肺里的空气，同样大小的空间挤着约四万亿亿个分子。抓一把一立方英寸的星际空间，你可能只握到一个电子。二零二六年十一月十八日。
旅行者一号到达一百六十一亿英里外。远到连每秒十八万六千英里的光，都要跑上整整一天才能到那儿。人造物从没到过一光日远。旅行者的项目经理苏西·多德这么说。她周一问候旅行者，周三才收到回复。那边出故障，第二天才知道，修复再隔一天到。每次抢救至少要两天。它每天飞约一百万英里，可走完一光年还要近一万八千年。飞了半个世纪，才换来一光日。一光年，比有文字的历史还长三倍。
三百年后，它到达奥尔特云，包住整个太阳系的巨大冰壳，可能有几十亿，甚至上万亿颗。穿过去要大约三万年，冰体散得极稀，旅行者多半一颗都碰不上。约四万四千年后，旅行者一号飞过下一颗星，暗淡红矮星格利泽四四五。这趟相会多半靠那颗星自己飞过来，它的速度比旅行者还快。最近点在哪儿？大约两光年。就算最近的一次擦肩，中间的空隙也宽得光要走整整两年。
可到那时旅行者早睡着了。它的电来自钚慢慢衰变的热，每年少约四瓦。为了省电保命，工程师只能一个个关掉系统。2026年4月，他们又关掉一台仪器，十台只剩两台在工作。一台测磁场。另一台是耳朵，等离子波仪，曾听过尘埃。今年夏天，团队在二号上冒险搞了次电力大挪移，名叫大爆炸，一号也安排上了，可钚不管多聪明。2030年代某天，发射机会沉默。地球上的巨大天线仍指着那片天，等一个不会来的信号。这些都不减慢它。没有空气和摩擦，不管谁在听，它照样滑行。
它没撞过大东西，真正原因是，石头之间的距离远超想象，出了行星区域，连尘埃都稀稀拉拉，有时稀到测都测不到。
旅行者侧面挂着金唱片，九十分钟音乐，五十五种语言问候，和地球的声音。铜底镀金，铝壳封装，能撑大约十亿年。科学家认为，再过约十亿年，变亮的太阳会烧干海洋。天文学家模拟过它的星系航线，发现它能漂上万亿年不靠近任何恒星。来看往后时间线。十亿年后，地球海洋没了。再过几十亿年，太阳膨胀成红巨星，而那张十二英寸镀金铜盘还在星际间坠落。还带着一个已消失星球的音乐和声音。它可能是宇宙中证明我们来过的最后之物。而今晚，它仍以时速三万八千英里，滑进更深的黑暗。
]]>本文是视频《你永远追不上一束光：光速的真相彻底讲透》（作者：Infinite Physics）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
先闭上眼睛，再睁开。就在那一瞬间，从房间墙壁、你眼前的屏幕出发的光，或窗外天空，飞进你眼睛，告诉大脑世界啥样。感觉一瞬间，好像啥都没发生。但其实不是瞬间。光到达你要花时间。虽然很短，但也是时间。这小小的延迟里，藏着宇宙最深的一个秘密：光是世上最快的东西。它每秒大约跑三十万公里。准确说，在真空里它是每秒两亿九千九百七十九万两千四百五十八米。这数字大得脑子装不下。咱们来让它变真实点。如果让一束光沿赤道绕地球转，一秒能绕地球大约七圈半。
你还没数完一，它已经绕地球一圈又一圈。喷气客机不停飞要近两天才能绕一圈。抬头看月亮，它在约三十八万公里外。光只要一点三秒就到。所以你看到的月亮，不是它现在的样子。你看到的，是一秒多前的月亮。那是过去的它。太阳远得多，约一亿五千万公里。阳光要八分二十秒才到我们这。所以太阳突然消失，我们不会马上知道。八分多钟里，天还亮着，阳光还暖着你。过了这八分钟，黑暗才来。你每次看太阳，看到的都是八分钟前的光。这是光的第一个怪道理。看见从来不是即时的。你看到的都是过去。屋里东西的延迟只有几纳秒，根本察觉不到。
但看得越远，看到的过去越深。记住这一点，后面它会带我们回到时间的起点。
人类历史上大部分时间，人们以为光根本不动，是一下子到处出现的。点根蜡烛，满屋子立刻亮了。思想家们争了几百年。古希腊的恩培多克勒就怀疑，光会动。另一些学者认为光无限快，瞬间就到。谁也证明不了，因为光快到抓不住。十七世纪初，意大利科学家伽利略决定试试。他的想法简单又聪明。他和助手站在两座山上，各拿一盏遮住的灯。伽利略先揭开自己的灯。助手一看到光，就揭开自己的灯。伽利略再测光回来的时间。光要是有速度，就该有延迟。但测不出延迟。光回来多快，全看人的反应。伽利略推断，光如果有速度，那快得用灯和人眼根本测不出来。他是对的。
光过两山只要几百万分之一秒。实验不算失败，这是头一次认真提问。科学总是从提出好问题开始。第一个真正的答案不在地上，在天上。十七世纪七十年代，丹麦天文学家罗默在研究木卫一。木卫一像钟表一样绕木星，定期躲到行星后面。天文学家把它当宇宙时钟。但罗默发现怪事：这钟不准。当地球在轨道上靠近木星时，木卫一被遮的时间比预测早一点。当地球远离木星时，又晚了一点。差距加起来有几分钟。罗默明白了。卫星没变，只是我们离得远时，光要多跑路。多出的几分钟，正是光走远路的时间。一六七六年，人类第一次证明光速是有限的。
荷兰科学家惠更斯根据他的观测算出，约每秒二十二万公里。虽不精确，但已很惊人。人们知道光很快，但不是无限快。地球上测光速，还要等近两百年。一八四九年，法国物理学家斐索造了台精巧机器。他让一束光穿过飞速旋转的齿轮缝隙。光跑约八公里到镜子，再弹回来。窍门在这里。轮子转得慢，回来的光就从原来的缝隙穿过。但轮子转得够快，光回来时，齿已经挡住了它。知道了轮子转速和光走的路程，斐索就算出光速：约每秒三十一万三千公里。结果相当接近。不久后，他的同胞傅科改进了方法，用高速旋转的镜子代替齿轮。
到一八六二年，傅科测出光速约每秒二十九万八千公里，误差不到百分之一。后来，美国物理学家迈克尔逊大半辈子都在改进测量，镜子更精，光路更长。数字一步步清晰了。但知道光多快，只是一半。
更大的问题是，光是什么？为什么是这个速度？不能快一倍或慢一半？答案来自谁都没想到的地方。十九世纪六十年代，苏格兰物理学家麦克斯韦在研究电和磁。当时大家觉得这是两种力。电产生火花闪电，磁让指南针指北。但实验显示它们相连。磁铁动会产生电流，电流也会产生磁场。麦克斯韦汇总了已知规律，写成几条优美的方程。研究方程时，他发现了惊人的东西。方程预言，变化的电场产生变化的磁场，又反过来产生电场，如此循环。两者互相推动，形成波，能自己在真空里传播。麦克斯韦接着算这个波的速度。
速度只取决于两个基本常数，描述真空中的电磁性质。这两个数在实验室里用导线线圈测得，跟光毫无关系。麦克斯韦一算，结果约每秒三十万公里。正是光速！这是科学史上最伟大的时刻之一。麦克斯韦意识到，光本身就是电磁波，电和磁的涟漪，在空间飞驰。光速不是随便的数，它写进了电磁的基本规律。可见光只是一小部分。同一种波可以有不同波长。很长的就是无线电波，把音乐传到你车里。稍短的是微波，加热食物。再是红外线，我们觉得是热。再就是窄窄的可见光，从红到紫，眼睛唯一能看见的。
更短的是紫外线，会晒伤皮肤。再是X光，能穿透身体。最后是伽马射线，能量最高。广义上它们都是光，都以完全相同的速度穿越真空。到了二十世纪初，科学家发现，光还像一串能量小包，叫光子。光有时像波，有时像粒子。这双重性是量子物理一大谜团。不管当它是波还是粒子，有一点不变，在真空里它永远同速。
麻烦就从这来了。想想日常速度。火车每小时跑一百公里，你朝前扔球，每小时二十。站台边的人看到球每小时一百二十。速度相加，这是常识。汽车、球、鸟都这样。于是科学家自然会问。光每秒三十万公里，总得相对什么东西吧？可相对什么？波一般要有东西才能传播。海浪走水，声波走空气。物理学家就设想，太空充满了传播光的隐形物质。他们叫它以太。若以太存在，地球绕太阳每秒三十公里，肯定在以太里冲。这会形成以太风。顺着风的光，应该比逆风的稍快。
就像游泳，顺水比逆水快。一八八七年，迈克尔逊和莫雷想测出这个差别。他们造了台极灵敏的仪器，把光分成两路垂直的光，来回反射再汇合。若一束稍慢，波就不同步，明暗条纹会移动，看得出来。他们转动仪器，在不同时段、不同季节反复做，就等着看条纹移动。结果啥也没有。没有以太风，没有差别。无论地球怎么动，光各方向速度都一样。这结果让物理学界困惑多年，号称史上最著名的失败实验。可在科学里，让人惊讶的结果不算失败。它是一扇门，等着被打开。一九零五年。
瑞士伯尔尼，专利局小职员推开了这扇门。他叫爱因斯坦。他做了件大胆的事。他没去解释怪结果，反而全盘接受，当成自然基本定律。他说，真空里的光速对每个观察者都一样。无论你动得多快，站着不动，还是开车，或者乘半光速的火箭，你测到的光速永远不变，每秒二十九万九千七百九十二公里。听着简单，想想意味着什么。想象你开着飞船，以百分之九十九光速追一束光。按常理，光只会慢慢甩开你。但事实不是。你还是看到光全速甩开你，地面上的人看这束光，也是全速。你们都对。这怎么可能？速度等于路程除时间。光速要人人一致，就得有东西让步。
让步的，正是距离和时间。爱因斯坦证明，时空不是固定不变的。它们会伸缩，看你怎么动。给你个简单的想象方法。想象一种特别的钟：两面镜子相对，光在中间上下弹。弹一次，算一拍。把这钟放到高速飞船上。在宇航员看来，光还是直上直下，正常走拍。但在外面看，飞船在横移，光每次弹跳都斜着走，路径变成更长的之字折线。路程更长，速度不变，用时就更久。所以在外面看，动钟每拍更慢。动着的钟走得慢。这不是镜子的把戏。船上每个钟、每次心跳、每个化学反应、每个衰老的细胞，都同样变慢。从外面看，旅行者的时间本身变慢了。物理学家叫它时间膨胀。
同时，高速运动的物体，在你看来会在运动方向上变短。这叫长度收缩。日常速度下，效应太小，我们根本察觉不到。但越接近光速，它就大得惊人。听着像科幻，但这是真的，已被验证过几千次。最美的证明来自天空。高空里，来自太空的高能粒子，就是宇宙射线，撞上大气顶层，会产生缪子。缪子很不稳定，平均两百万分之一秒就会衰变。就算以近光速飞，缪子也只能飞六七百米就衰变。而它们诞生在十五公里高空。所以几乎没几个能到地面。但它们到了。每秒都有大量缪子落到我们身上。有的正穿过你的身体。它们因为太快，在我们看来，体内时钟慢了很多。
它们的寿命被拉长，够跑完全程。而在缪子看来，是地面距离变短了。无论如何它们都到了，正如预言。更实在的例子，就在你口袋里。帮你手机定位的GPS卫星，带着极其精密的原子钟。卫星飞得快，钟因速度走得稍慢。但因为离地球引力更远，爱因斯坦后来的广义相对论说，它们会走得稍快。加起来，卫星钟每天比地面钟快约三十八微秒。听着微不足道。GPS靠测无线电信号的到达时间，而信号以光速传播。三十八微秒里，光能飞十一公里多。
若不修正相对论，GPS每天会漂移几公里。地图会把你放到错误的街区，甚至错的城市。每次手机定位，爱因斯坦的光与时间理论都在悄悄工作。现在来聊最出名的问题。
为什么没有东西能超光速？推动它加速，就要给它能量。低速时，加一点能量就快一点。但物体越接近光速，怪事来了：你加的能量，越来越多没变成速度。而是让它越来越难推动。爱因斯坦用最著名的方程证明：能量和质量深深相连，E等于mc平方。能量等于质量乘光速平方。越接近光速，想再快一点，需要的能量就无限暴涨。想真正达到光速，有质量的物体需要无限大的能量。可全宇宙也没有这么多能量。所以飞船、石头、人，任何有质量的东西都到不了光速，更别说超过了。人类最强的粒子加速器，大型强子对撞机，能把质子推到光速的99.999999%。
但它永远补不上最后一点。光怎么做到？答案是光子没有质量。更惊人的在后头。没有质量的东西没得选速度。只能以光速运动，不能慢一点，也不能快一点。光子一出生就这么快，在真空里永远不变。这让我们更深地理解光速的本质，其实它跟光没多大关系。它是宇宙本身的速度上限，是因果传导的最快速度。任何信息、任何信号、任何影响，传得再快也快不过它。光只是最有名的例子，引力也一样快。二零一七年，天文学家探测到两颗中子星相撞的时空涟漪，光闪大约两秒后才到。
它们跑了一亿三千万年，引力和光并肩穿越宇宙。物理学家常说，光速是空间和时间的纽带。爱因斯坦证明，空间和时间不是两回事，而是同一块时空的两面。光速就是它们的汇率。它告诉我们一秒时间值多少空间，大约三十万公里。所以它对谁都一样。它不是光的属性，而是宇宙结构的属性。还有一个烧脑的想法。相对论说，动得越快，时间走得越慢。到光速，时间就完全停了。奇怪的是，光子完全感觉不到时间。一颗几十亿年前离开遥远恒星的光子，今晚落进你的眼睛，路上一点没变老。
在我们看来它飞了几十亿年，但在它自己看来，出发和到达是同一瞬间。
等等，光速不是不变吗？为什么说光会变慢？这是真的，并不矛盾。每秒两亿九千九百七十九万二千四百五十八米，这是光在真空中的速度。也就是完全空无一物的空间。光进入水、玻璃或钻石，就会变慢。在水里，光速约每秒二十二万五千公里。普通玻璃里约二十万。在钻石里，它慢到每秒约十二万四千公里，不到真空的一半。为什么会这样？光穿过物质时，会不断跟原子里的带电粒子作用，尤其是电子。光让电子抖动，抖动的电子又发出新的光。新旧光叠加在一起，结果合成一个波，在物质里走得慢了。就像穿过拥挤的车站。
你能在人群间快走，但磕磕碰碰让你慢下来。光一离开物质回到真空，立刻恢复全速。这种变慢带来奇妙的效果。光斜着进入玻璃或水，速度一变就会拐弯。这叫折射。所以水杯里的吸管看起来像断了。眼镜、相机、望远镜就靠它聚焦。雨滴把阳光折成彩虹也是它：不同颜色变慢程度不同，弯的角度也不同。钻石闪耀也是因为它。光在里面大幅减速，急转弯，在石头里弹来弹去，最后闪出彩色火花。互联网也靠这个。全球数据大多是光脉冲，在细光纤里跑，穿过城市和海底。
在玻璃里，光速约为真空的三分之二。这也够快，横跨大西洋只要百分之几秒。可对一些银行和炒股者，还是太慢。有人在金融中心之间建微波塔，因为电波走空气比光走玻璃快。在他们眼里，几百万分之一秒就值大钱。科学家甚至能让光大幅变慢。一九九九年，丹麦物理学家莱娜·豪带队，让光穿过极冷的原子云，温度只比绝对零度高一点点。在那团云里，光慢到每秒约十七米，跟自行车差不多。几年后，她的团队甚至让光脉冲完全停下片刻，再重新放行。减速时还会出现奇异美丽的光。光在水中会变慢，所以微小粒子在水里完全可能跑得比光快。
这没违反爱因斯坦规则，粒子仍比真空光速慢。发生时，粒子会产生光激波，就像超音速飞机产生音爆。结果是一种诡异的蓝光，叫切伦科夫辐射。一些核反应堆周围的水里就能看到。某种意义上，它是光的音障。如今光速已精确到我们不再测量它。听着奇怪，但这是真的。一九八三年，全球科学家决定反过来：不用米量光，而用光定义米。官方规定，一米是光在真空中，二亿九千九百七十九万二千四百五十八分之一秒走的距离。光速不再是发现的数字，而是测量世界的固定常数。世上每把尺子，最终都靠一束光来校准。回到开头的问题吧。
光传播需要时间，望向太空就是回望过去。我们跟火星机器人通话，无线电信号以光速前进。看火星和地球的位置，消息要三到二十多分钟才能到。所以火星车没法像玩具车那样用摇杆开。命令到时，情况可能已经变了。火星车得自己做很多决定。更远处，一九七七年发射的旅行者一号，是最远的人造物。它太远了，微弱的无线电信号以光速走，也要将近一整天。工程师发个指令，要等近两天才知道成没成。
太阳外最近的星，比邻星，约四点二光年远。光年不是时间单位。它是距离：光走一年的路程，约九点五万亿公里。所以最近的星光，是四年多前发出的。仙女座星系是我们的大邻居，约二百五十万光年远。晴朗的黑夜，肉眼就能看到它模糊的光斑。这束微光出发时，人类祖先刚在非洲草原上行走。你看仙女座，看到的光比人类还古老。
像詹姆斯·韦布望远镜这样的顶级望远镜，能看到光走了一百三十多亿年的星系。我们看到的是宇宙年轻时它们的样子，有些现在可能已不存在。望远镜就是真正的时光机。在可观测的边缘，有一层微光布满整个天空。它叫宇宙微波背景。它是宇宙最古老的光，在宇宙大爆炸后约三十八万年发出，那时宇宙刚冷却到光能自由穿行。这光已经走了约一百三十八亿年。期间宇宙膨胀把波拉得很长，不再是可见光，而是微弱的微波。用射电望远镜就能探测到它。这真是宇宙的婴儿照。你可能还想问一件事。
天文学家说，有些遥远星系正以超光速远离我们。这违反宇宙限速吗？没有。它们并不是在空间中超光速飞，而是我们之间的空间在拉伸。爱因斯坦限速管空间里的运动，不管空间本身膨胀。但最远处的光永远到不了我们。有些区域我们永远看不到，等再久也没用。那么光速到底是什么？
它是一个数，约每秒三十万公里。它是电磁波的速度，写在电磁学的定律里。你看到的太阳是八分钟前的，手机能定位，都靠它。无质量的东西只能以这个速度走。有质量的东西永远跨不过这条线。更重要的是，它是因果的速度。它定下宇宙传递信息的节奏，把时空织成一体，决定我们能知道什么，何时知道。夜空里的每颗星，每张照片，你看爱人的每一眼，都以这同一个速度到达。几千年来，人们以为光不用花时间。后来，有人好奇地问：光会不会变慢？山坡上的灯，木星的卫星，齿轮和镜子，优美的方程，小职员的大胆想法，慢慢揭开了答案。这个答案，比想象的更奇妙，也更美。下次抬头看星星时，想想你真正看到的是什么。
不是星星的现在，是过去的消息。光走了几年，几百年，甚至几百万年，以宇宙最快的速度，穿过空旷太空，只为最后落进你的眼睛。
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你以为太阳系长这样，但没人飞到这么高看过它。这不可能。到这儿拍这张照片，是人类最难做到的事之一。如果真能做到，还能救成千上万条命。我们能送飞船到二百五十亿公里外，却不能换个方向走？往上飞。为什么不行，后面细讲。有没有办法绕过去？真能做到，能飞多远？又能看到什么？好。
你想飞越太阳的北极和南极，当个太阳极地探险家，成为第一个俯瞰太阳系的人。你有飞船，也有发射能力，但这会很难。为什么？为什么？为什么探测冥王星，比飞到太阳上方还容易？提示一下。不是距离问题。太阳系每个行星我们都飞掠过，甚至更远。星际旅行都做得到。那是热吗？太阳确实很烫。表面约五千五百摄氏度，日冕能飙到两百万摄氏度。
意外吧，也不是热的问题。帕克太阳探测器飞到离太阳六百万公里内，靠高科技隔热罩，扛住一千四百摄氏度高温。极冷极热加辐射的飞船，我们都很在行。但问题来了，听好了：问题出在平。没错，绝对的平。太阳系是平的。这真是个大麻烦。我可没疯啊。地球嘛，是平的。是圆的，彼得。地球是圆的。但太阳系几乎完全是平的，像张煎饼，一样薄。每颗行星，小行星和卫星，都在同一平面上转，因为太阳系就是这么形成的。
这叫黄道面。如果把太阳系想象成一个球，像原子核加电子绕着转？不，你想错了。更像圆桌上的弹珠，太阳在中间，其他都绕着转。这张桌子为啥这么平，稍后再说，但太阳系这么平，你想升空俯瞰它，这就是个大麻烦。这需要硬核物理和超强动力。你也许想问，干嘛非要看太阳两极？
不管你在地球还是太空，这都能解释很多太空天气。拍到太阳两极，会有什么新科学？对人类有什么意义？回答这类大问题，正是AI的强项。新工具越来越多，我都搞不清啥时候该用哪个。Abacus AI的Chat LLM来了。Chat LLM一站式搞定，能用ChatGPT、Gemini Pro、Claude Opus等顶级模型。不知道用哪个？Route LLM会自动帮你选最好的。让一个模型用大白话讲黑洞。
另一个查暗星的历史，还能在同一平台生成图片、视频，甚至完整演示。Chat LLM还有AI画图和AI视频生成，还有AI PPT生成器，能做深入调研的专业演示。用Abacus AI的Deep Agent，能做App、网站、软件和AI智能体，还有聊天机器人。就像把整个AI实验室装进浏览器。每月只要十美元左右，比单独买一堆AI工具便宜多了。想探索宇宙，更快开发、更深研究，趁AI奇点还没打乱你的日程。下方链接试试Abacus。
说回来，从太阳上方或下方飞过去，能给我们带来什么？能帮我们预测大耀斑甚至太阳风暴。耀斑能毁掉卫星，还能摧毁电网和整个通信系统。旅途中手机没信号，不知道往哪走，有过吗？想象一下全世界同时断联是什么样。飞机联系不上塔台，船在海上迷路。全球陷入混乱，靠着互联和电网的系统全部瘫痪。
太阳风暴能撕裂宇航员的DNA。有了更好的预测，就能保护电网通信网，提前关停。宇航员还能调整飞船，躲开强烈的日冕物质抛射。这能保住价值几十亿的系统，也能救成千上万条命。太阳真的很怪。每十一年，太阳两极的磁性就对调一次。北极和南极互换位置。
地球也会这样，但要几十万年一次。太阳翻转时，太阳黑子就会爆发，地球被耀斑轰击，电子设备跟着遭殃。这些耀斑来自太阳反复翻转的磁场，而很大程度取决于两极的情况，而我们看不见那里。所以观测太阳两极，就像圣杯一样的目标。掌握这些，就能更好预测耀斑风暴，保护自己。那为啥不发探测器去看看？
还有个绕不开的问题，德尔塔v。德尔塔是变化，v是速度。德尔塔v就是飞船做轨道机动所需的速度变化，比如进入轨道。问题是，改变速度特别费火箭燃料。为什么呢？假设你想试试。直接朝上飞不就行了？对准黄道面上方，踩油门。问题出在德尔塔v。
地球绕太阳飞得飞快，每小时约十一万公里。飞船离开地球时，它也带着超快的速度，朝同一个方向。等于继承了地球绕日的横向速度。想急转弯，得先抵消原来的速度，才能转向。你可能觉得自己懂转弯，真的吗？想象你在开车向前，想左转。一打方向盘，前进的动量就转向新的方向。能做到，是因为轮胎抓得住地面，把能量引向侧面。
转完弯后，你不再朝原来的方向了。用德尔塔v来说，原方向的速度是零。在太空转弯也是这个道理。可太空里没东西可蹬，也没有路面可抓。想变向就得用火箭朝那个方向推。要做完整的九十度转弯，还是得先停下向前的速度。不然你只能同时朝前和新方向飞，斜着飞出去。改变轨道平面是航天里最耗能的任务之一。要做一次九十度转弯，需要的燃料多到物理上根本没法硬来。
地球上最大的火箭是SpaceX星舰，能装四百五十多万公斤燃料。它的燃料远远不够我们要的速度变化。更糟的还在后面。造那么大的火箭，装那么多燃料，难度会指数级上升，因为火箭越大，挑战就越大。发射巨型火箭，要更多燃料才能把更重的船推上天。可燃料也很重，就得用更大的火箭和更多燃料，把它们推上去。
简单说，飞船得大到几乎全是燃料，这根本行不通。多谢德尔塔V。刚才讲得有点长，要是你想在下期视频听我们讲德尔塔V这类概念，在评论区留言，说你想听什么。我没学过微积分，但会让节目组的高手先给我讲明白。我想了解反渗透。渗透怎么还能反过来？行，你开心就好。
那怎样才能飞到太阳上方呢？跟很多太阳系问题一样，答案就是木星。
它是太阳系最大的行星，直径是地球的十一倍，质量是地球的三百一十八倍。所以它的引力也强三百一十八倍。想去看太阳的顶，这很重要。其实从七十年代起，我们就借木星强大的轨道动量，来改变飞船的速度和方向。先驱者、旅行者，它们借木星引力完成了一种飞行动作，叫引力助推，也叫引力弹弓。简单说，就是贴近行星飞，偷一点它的动能，加速并转向。
旅行者二号借了四颗行星的引力，才走到今天，第一站就是木星。旅行者号很有名，它们还在星际空间里飞着呢。但我们还借木星引力，改变过一艘不太出名的飞船的速度和方向。尤利西斯号。它一九九零年由航天飞机发射，一九九二年绕木星做了一次引力助推。这一下让尤利西斯号偏离黄道面，倾角高达八十度。
九十年代中期，尤利西斯号飞越太阳两极，用一堆仪器做了测量。我们了解到太阳和日球层的各种知识。比如太阳风从极区喷出，速度高达每秒七百五十公里。比太阳赤道的风快多了。不过尤利西斯号带上天的仪器里，一台相机都没有，而且它离太阳还很远，最近也只在火星轨道内侧。它探测和测量了两极，但从没拍过照。也就是说，直到二零二五年之前，我们都没见过太阳两极的照片。
太阳轨道器比尤利西斯号晚三十年，在二零二零年升空，选了另一条路。它不去木星，而是多次借地球和金星引力，把轨道抬出黄道面。五年时间里，它爬到了黄道面以上十七度。它还离太阳很近。最近时，探测器和它的大隔热罩只距太阳四千二百万公里。比水星还近。终于，二零二五年三月，人类历史上第一次，我们看到了太阳南极的图像。当然，只要你还记得中学数学，会用量角器。
就知道十七度不算多。这就像看橙子的底部，像这样。
厉害吗？算吧，毕竟是第一次。好消息是任务还在继续，经过更多引力助推，倾角会升到三十三度，我们会把太阳两极看得越来越清楚。有了这第一眼，我们拍到了两极，了解到很多，比如太阳如何塑造日球层，那个包住太阳系的巨大等离子气泡。还有它的磁场有多乱，以及那种叫营火的小型耀斑是怎么回事。将来这也许能解释，日冕为什么那么热。总之，它干着该干的事，研究太阳天气，帮我们预测太阳动向。还有别的任务也在筹备中。中国计划2029年发射太阳极轨观测台。
轨道能到相对黄道面的六七十度。我们离飞到太阳上下方越来越近了。但要是能一路飞到九十度呢？你会看到什么？
好，你找到了办法，用多次引力弹弓和未来推进器，变轨进入九十度的绕日轨道。也许你驾驶着NASA的高级太阳帆。你会是第一个从上方俯瞰太阳和整个太阳系的人。脚下是广阔平坦的太阳系。从这个角度看太震撼了，这可是太阳的北极。往外飞时，水星到火星的内侧行星尽收眼底。然后是小行星带，再是外面的气态巨行星。你可能突然会问自己。
太阳系怎么这么平？行星都在黄道面几度以内。只有水星偏了七度，其他都差不了几度。那，这得回到四十六亿年前太阳系刚形成的时候。那时它只是一团被引力拉拢的分子云。物质和尘埃聚到一起，开始结块。当时附近超新星的能量砸中星云，它开始翻腾。粒子们转起来互相碰撞，有趣的事发生了。
你看，物质旋转时很容易形成盘状，比如土星环。而我们这里，物质都绕一个点转圈停不下来，这叫角动量守恒。一切不停转啊转，但粒子的不断碰撞，抵消了上下运动。最终所有东西挤到一个平面上，黄道面形成了。这阶段就叫原行星盘。之后太阳和行星就诞生了。快进几十亿年，你就飘在这一切上方，惊叹着超平坦的太阳系。拍几张自拍，然后你想看得更远，飞向太阳系边缘。
日球层顶。对，飞到行星上方，最终会到日球层边缘。那是太阳风和磁场吹出的泡泡，包着太阳系。它能延伸到冥王星距离的三倍。在那儿你能测出日球层的形状，科学家还在研究呢。可能是圆的，也可能像牛角包、泪滴、彗星或蝌蚪。没人知道，因为只有旅行者一号和二号测过。但你能搞清楚。
这太关键了。太阳的等离子体喷向太空，像巨大护盾挡住星际辐射。没有日球层我们就完了。它是旅行者一号发现的。2012年它突然测不到太阳辐射，宇宙辐射猛增。这不难发现，日球层外的宇宙辐射是里面的三倍。太阳一直给我们能量，原来它还一直挡着致命辐射。而且它是动态的，日球层随太阳活动伸缩。太阳换极时它还会变大。瞧，要搞懂这些机制，到两极上下方很关键。你飞得越高。
其他结构就越有趣，也越来越不像圆盘。比如柯伊伯带，满是海王星外天体。它更像条带。官方说它是甜甜圈形，但柯伊伯甜甜圈听着不太科学。更远处还有奥尔特云，大壳层里满是冰彗星和星子。我们从没见过它。飞到那么高，你就能看清它的真实形状了。也许它比我们想的更像环带。到那时候，上下之分就没什么意义了。
你还在太阳系上方，但已经很难看到太阳了。你已进入星际空间，该把太阳系放进银河系看了。它在银河系的哪个位置？俯瞰太阳系，不代表你在俯瞰银河系。太阳在银道面之上，但太阳系是侧着身子绕银河系转的。我们这个扁平的太阳系盘，和银道面成六十度角。太阳系也不是一直待在银道面上方，而是在面上下来回穿行。科学家在观测附近的拉德克利夫波，它是银河系的一段，星团在上下移动。
像在做人浪。要是你一直追踪地球绕太阳，轨迹大概就是这样。地球在一个平面上绕太阳转。太阳系以每秒几百公里的速度绕银心转。但它侧着转，比银道面歪了六十度，还在上下起伏。当然，银河系也在飞速穿行太空，它是本星系群的一员。它属于室女座超星系团，处在拉尼亚凯亚超星系团边上。渐渐地，上变成了相对的，对整个宇宙来说，无关紧要。
这一切，只因我们想从上方这个角度看太阳。不过，从太阳系每颗行星看日落，会是什么样？外星行星上的日落什么样？点屏幕上的视频看看那集吧。因为那是另一期《WHAT IF》的故事。
]]>本文是视频《物理学最美的想法，却是我们永远证明不了的》（作者：4phy）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
两千五百年前，一个叫毕达哥拉斯的希腊人注意到怪事。拨下琴弦，按住正中间，再拨一次。同一个音，只是高了一点。按到三分之二，又是好听的音。简单的比例，就有了干净的音乐。于是毕达哥拉斯提出猜想，谁都会这么想：也许整个宇宙都这样运作。数字，和谐，音乐。之后两千年，大家都以为毕达哥拉斯嗑嗨了。但六十年代末，物理学家偶然碰到这些数学，发现了离谱的事。
毕达哥拉斯可能真说对了。看完这期视频，你就会明白这个想法，要么是有史以来最重要的理论，要么是最美的废话。我会告诉你哪个是对的。
这就是物理学界卡了快一百年的大难题。现实有两套规则手册，两套都好得出奇，我们根本分不清哪一套更准确。第一套，你可能听过，爱因斯坦的广义相对论。引力不是往下拉你，是时空围着有质量的东西弯曲。它预言了黑洞，预言了时空的涟漪，二零一五年我们终于测到了。手机GPS得校正这些，不然地图每天会漂十公里左右。第二套规则。量子力学。管的是特别特别小的东西，电子、夸克和光。有一个预言和实验吻合到万亿分之一。
就是说它准得不得了，你正在看的这台设备，每颗芯片都靠它工作。
那明显的问题来了：两个同时要怎么办？这个问题直指黑洞中心。第一个例子是宇宙大爆炸，巨量物质挤进小得难以想象的空间。那里引力重要，量子力学也重要。物理学家试着合并两者，结果是无穷大。不是数字，是无穷大。你问方程一件事概率多大，它说：无穷大百分比。我真是认真的。很大原因是我们习以为常的一点：粒子被当成点，没有大小。两个没有大小的东西之间算引力，数字直接失控。那它们要不是点呢？
我们来放大看。穿过皮肤，穿过一个细胞，进入单个原子。原子几乎全是空的。如果它是足球场，原子核就是中圈的一颗豌豆。现在再放大，进入质子，里面是三个夸克。我们的实验能力差不多到此为止。弦理论说：继续，一直往下，到一个叫普朗克长度的地方，约十的负三十五次方米。打个比方，把一个原子放大到整个可观测宇宙那么大，普朗克长度也只有一棵树那么高。在那种尺度，弦理论说，你会看到能量弦自己振动。
这就是加来道雄在《上帝方程》里的图景。最好懂的入口是小提琴。一根弦一种振法，出的是A音。换个振法，出的是升C。同一根弦，不同的音。弦理论说，电子是一个音，夸克是另一个音，光子又是另一个。它们本质相同，只是振动方式不同。粒子的质量就是振动里的能量。电荷也写在振动图案里。加来道雄有个很妙的说法：物理是这些弦能奏出的和声。化学是它们互动出的旋律，宇宙就是一部交响乐。它还解决了无穷大难题。弦有大小，极小，但不是零。两根弦没法挤成一个点，原来冲向无穷大的数字，现在稳住了。
但这还不是最怪的。最怪的是方程自己冒出来的东西。回到一九六八年，欧洲核子中心有位年轻物理学家韦内齐亚诺，想搞懂强力，就是把质子粘住的力。他找到一个公式，几乎完美吻合数据。怪的是它不是新的。那是欧拉两百多年前写的纯数学，就躺在普通教科书里。可没人明白它为什么管用。几年后，南部阳一郎、尼尔森、特斯肯等物理学家，弄懂了公式在描述什么。
是振动的弦。之后弦论就出事了。
它最初是强力的理论，就是粘住原子核的力。结果这方面，它输给了更好的想法。它还有个尴尬的毛病，总预言一种没人要的粒子。没有质量，自旋还很特别。每个版本的数学里它都出现，谁也甩不掉。一九七四年，施瓦茨和谢尔克，盯着那个讨厌的粒子，认出了它的身份。引力子，传递引力的粒子。想想这意味着什么。几十年，人们想把引力塞进量子论，全失败。而这个理论，引力不用加，反而根本拿不掉。算算量子弦能怎么振动，就有一种模式，零质量，自旋为二。这正是引力子该有的样子。不管你要不要，它都从弦方程里自己蹦出来。
人们就是那时入了迷，加来道雄也是。七十年代他参与创立弦场论。在《上帝方程》里他说，弦论最有希望解开爱因斯坦最后三十年追求的问题。一个方程，同时给出引力、光、各种核力和所有物质。那为什么还没成定论？
但有个坑，其实有三个。坑一：维度。数学要自洽，弦需要十个维度。我们只看到四维。上下、左右、前后，还有时间。另外六维在哪？答案是卷起来了，小到无法想象。隔一片田看花园水管，它就像一条线。一维。走近看，有只蚂蚁绕着它爬。原来一直有第二维，只是你离太远。弦论说，空间每个点都藏着六个这样的维度，小得永远察觉不到。坑二。坑二：形状太多。卷起这六维的方式多得惊人，常见估计是十的五百次方。每种形状都对应不同宇宙，不同粒子，不同定律。批评者问，如果它什么都允许，那它预言什么？坑三最致命：没证据。
弦太小了，想直接看到它，加速器得比大型强子对撞机强千万亿倍。斯莫林、怀特等物理学家多年都说，没法检验的理论不算物理。这有道理。大家指望大型强子对撞机找到线索，比如超对称预言的新伴粒子。结果一无所获。加来的回应是，证据可能来自别处：暗物质、引力波，或大爆炸的回声。也许吧。但这个也许撑不起一切，我们仍需要扎实的硬证据，它才算物理。
加来道雄八岁时，在报上看到一张照片，是一张书桌，主人是爱因斯坦。爱因斯坦刚去世。桌上放着一份没写完的手稿。他晚年一直想找一个解释万物的方程，可惜没能及时完成。加来说，那张照片他一直没忘。他想弄清，什么难题连爱因斯坦都完不成？他一辈子都在追问。现状是：我们有个漂亮想法，解决了别人没解决的问题，还白送引力。但眼下，我们完全没法检验它是不是真的。它也许进教科书，与牛顿爱因斯坦并列；也许只是个脚注：美妙的数学，宇宙却不这么运作。
就算这视频你没记住别的，也记住这句。细想一下，这最能说明弦论有多离奇。你身体的每个原子，此刻进入你眼睛的每点光，如果弦论是对的，你，这块屏幕，中间的光，全是同一种小东西，振动方式不同。毕达哥拉斯看着琴弦，就以为自己听见了宇宙。两千五百年过去，我们还说不准他对不对。只知道，乐曲还没停。
]]>本文是视频《宇宙膨胀对不上数：大爆炸理论要塌了吗》（作者：Astris）的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
宇宙学正面临一场危机，答案将决定我们如何理解整个宇宙。快一百年了，我们知道宇宙在膨胀。一九二九年，埃德温·哈勃发现星系在彼此远离，离得越远，退得越快。这个发现成了现代宇宙学的支柱，从大爆炸到星系诞生都离不开它。核心是一个数字，宇宙膨胀的速率，我们叫它哈勃常数。几十年来，我们以为快算准了。现在天文学家没把握了。我们是站在科学革命边缘，还是整个宇宙模型根本就错了？我是Alex，这里是Astros。
今天我们聊聊这场宇宙学危机，看看哈勃最伟大的发现，怎么变成了现代科学的大麻烦。
人类历史大部分时间，我们以为宇宙很小。很多古文明想象，大地平铺在星空穹顶下。日月东升西落，星座在头顶旋转，这就是全部宇宙。到了公元二世纪，克罗狄斯·托勒密等天文学家给出更精细的模型，地球固定在中心，月亮、行星和星星都绕着我们转。这套地心说统治了一千多年。
十六世纪，尼古拉斯·哥白尼把太阳放在中心，地球只是绕它转的行星之一。这想法很激进，却打开了通向更大宇宙的门。十八世纪，威廉·赫歇尔开始绘制我们银河系的星图，发现它是个巨大的扁平圆盘。但当时还有更大的争论，银河系就是整个宇宙吗？还是广阔太空里众多岛屿中的一个？这场争论持续到一九二三年，埃德温·哈勃终结了它。他在加州威尔逊山天文台工作，哈勃把一百英寸胡克望远镜对准仙女座。它是当时全球最大的望远镜，他做了件没人做过的事。他分辨出仙女座里的单颗恒星，还找到了一种特殊的脉动星，叫造父变星。
这种星特别有用，多亏亨丽爱塔·勒维特。她编录了两千四百多颗变星，她发现造父变星的脉动周期，直接对应它的真实亮度。也就是说，量出脉动周期，再对比真实亮度和地面看起来的亮度，就能算出距离。天文学家叫它勒维特定律。哈勃用它测仙女座，结果惊人。他算出仙女座离我们约九十万光年，太远了，不属于银河系。仙女座本身就是个星系，它的星星完全在我们的银河系之外。一夜之间，已知宇宙大得无法估量。哈勃没停下。他又用勒维特定律测了二十三个星系，远的达两千万光年。结论很明显。银河系只是几百万星系之一，天文学彻底变了。
但他的下一个大发现，靠另一位天文学家：维斯托·斯里弗。斯里弗一八七五年生于印第安纳农场，一九零一年进入亚利桑那洛厄尔天文台。一九一二到一九二五年，他仔细研究四十多个旋涡星系的光。这为什么重要？光能分解成各种颜色，不同元素会在光谱里留下不同图案。如果发光的物体正在远离你，这些图案不变，却会整体移向光谱的红端。这叫红移。斯里弗发现，他看的几乎所有星系都有红移，说明它们几乎都在远离我们。但有个问题。他没法测那些星系的距离，也就算不出它们的真实速度。一九二七年，比利时科学家勒梅特提出了大胆的想法。
如果宇宙各方向看起来都一样，爱因斯坦相对论又是对的，那宇宙就一定在膨胀。这想法很漂亮，但勒梅特拿不出观测证据，大多数人就没理会。苏联科学家亚历山大·弗里德曼，几年前也提过类似想法，同样没多少人理会。说到哈勃。和当时多数科学家一样，他也没听说过这两个理论。他在威尔逊山观测星系，也看到了斯莱弗的发现：星系在远离我们。但哈勃有一样斯莱弗没有的东西。他有距离数据。这让他看到一个没人注意过的规律。战争。星系越远，红移就越大，说明它跑得越快，而且各个方向都是这样。
更多观测证实了这点。几乎每个星系都在远离，红移和它到地球的距离成正比。这是个大突破，它只说明一件事：宇宙在膨胀。哈勃在一九二九年发表了这些发现。这是勒梅特膨胀宇宙的第一个观测支持，这个想法后来发展成了我们所说的大爆炸。距离和速度的这个关系，就是哈勃常数的来源。它告诉我们空间拉伸得多快。哈勃最初的估算，大约是每百万秒差距，每秒五百公里。
一个百万秒差距，约三百二十六万光年。按这个早期数字，一个百万秒差距外的星系，每秒会退行约五百公里。这个数后来发现高得太多，哈勃大半职业生涯都在修正它。但它背后的想法，成了科学里最重要的之一。
哈勃常数帮我们算出宇宙的年龄和大小，这些数字几乎用在宇宙学家的每次计算里。你以为现在早把这个数搞准了。结果我们发现了对不上的地方。测哈勃常数主要有两种方法，结果却互相矛盾。第一种看的是现在的宇宙，大爆炸几十亿年后的样子。常叫宇宙距离阶梯，或晚期宇宙法，原理跟哈勃当年的做法差不多。先量星系有多远，再量它们的光红移了多少，就能算出空间膨胀的速度。能测的星系越多，距离标定得越仔细，结果就越精确。这些年，这个方法给出的值，约为每百万秒差距七十三点五公里。
比哈勃最初猜的低多了，但测得非常精确。第二种方法完全不同。它不看现在，而是回看最初，用最好的物理把时钟倒转再快进。这叫早期宇宙法，靠的是宇宙微波背景，简称CMB。这是古老的光，一种微弱的微波辉光，充满整个天空。它基本上是大爆炸约三十八万年后宇宙的快照。
阿尔弗和赫尔曼在一九四八年预言了它的存在。上世纪六十年代，彭齐亚斯和罗伯特·威尔逊偶然发现了它，还因此拿了诺贝尔奖。但直到两千年初，才拿到真正有用的清晰图像。二零零三年，威尔金森微波各向异性探测器WMAP，发布了全天图。它展示了还没有任何恒星形成时的宇宙。打个比方来理解。想象你来到一个爆炸现场，爆炸已经发生过了。碎片撒得到处都是，你看不出原来的东西长什么样。然后有人递给你一张照片，是爆炸刚发生时拍的。突然间，你就能追溯每块碎片从哪来。宇宙学家用CMB就是这么干的。
他们拿着那张早期快照，套上物理定律，按下播放键，让宇宙往前跑，看今天该是什么样。欧洲航天局的普朗克卫星走得更远。它拍下了极其详细的背景辐射图，揭示出微小的温度涨落。这些小涟漪，是一切的种子。它们长成了暗物质构成的巨大宇宙网，有星系团，也有巨大的空洞。天文学家把普朗克数据放进标准模型，向前推演得到预测的哈勃常数约六十七点四千米每秒每百万秒差距。看出问题了吧。这明显低于红移测出的约七十三。两种方法，两个答案，差距就是合不拢。
想明白为什么重要，就得聊聊两者共同的模型。哈勃常数不只是教科书里的数字，它织进了我们最深层的物理观念，从爱因斯坦的广义相对论，到宇宙诞生时又热又密、一路膨胀的图景。撑起这一切的框架，叫lambda冷暗物质模型，简称lambda CDM。它在九十年代末成形，长期以来表现非常好。
这模型有个惊人的点，宇宙膨胀在加速。科学家原以为引力会随时间让它变慢。可九十年代末，他们发现了相反的结果。有东西在越推越快地拉开空间，我们叫它暗能量。幸好，这个发现没有推翻模型，反而成了它的一部分。宇宙长得越大，暗能量越重要，膨胀也就越快。
你可能会问，那加速是否解释了两个不同的数值？并没有。两种方法测的都是今天的膨胀速率，所以加速不是分歧的原因。真正的难题摆在眼前。一个宇宙学模型，怎么会在这么根本的事上给出两个值？这就是著名的哈勃张力。它不是因为空间真的紧绷才叫张力。更像是形容宇宙学会议上的气氛。我完全理解。因为如果属实，我们整个宇宙图景可能都不完整。
长期以来，很多科学家希望这只是测量问题。想法是，仪器越来越精、数据越堆越多，两个值会慢慢靠近，在中点汇合。但现实不是这样。新的独立测量不断出现，差距没缩小，反而更难忽视。
举个近年的例子。有些星系有巨型脉泽。在星系中心超大质量黑洞附近，水蒸气这类分子会放大微波。它像激光，只是发出的是微波，不是可见光。巨型脉泽功率极强，天文学家能非常精确地描绘它的辐射。这能测出黑洞质量，更关键的是，不用常规距离梯，直接算出星系的几何距离。二零二零年，多姆·佩谢团队用这方法，得到哈勃常数七十三点九，可信度很高。接着在二零二四年底。
丹尼尔·斯科尔尼克和诺奖得主亚当·里斯等人的团队，用上暗能量光谱仪的数据。他们研究后发座星系团里十二颗Ia型超新星，距离约三亿二千万光年。他们的结果是七十六点五。然后到了二零二五年，印度大学间天文与天体物理中心的研究者换了条路子。他们用银河系内的米拉变星做参照，再测遥远星系里的米拉变星，技术和最初的造父变星法类似。结果：七十三。
三种完全不同的方法，三个高度一致的答案。每个都落在七十三附近或更高，也全都超出普朗克基于宇宙微波背景的误差范围。这说不通。
一些天文学家开始敲响警钟。杜克大学物理教授、超新星研究的第一作者丹尼尔·斯科尔尼克，说我们的宇宙学模型可能坏了，哈勃张力越来越像哈勃危机。为什么重要很好理解。解读宇宙的模型若不稳，它给出的答案也就靠不住。星系何时形成，星团如何演化，甚至宇宙的未来走向，全都悬而未决。想想两种可能。如果真实的哈勃常数是低值，也就是背景辐射测出的那个，那我们的宇宙约有一百三十八亿岁，很可能会永远膨胀下去，一切平稳，未来可测，暗能量恒定。但如果真实值是高的那个，红移测出的，那宇宙膨胀就比模型允许的更快。
那么宇宙可能更年轻，也许一百二十到一百三十亿年。这可能意味着，我们对早期宇宙、暗能量，甚至相对论本身，还缺了关键认识。那科学家怎么解决？有人建议对标准模型做大幅修改。比如暗物质会随时间衰变，或者暗能量不恒定，随宇宙变老而变化。有人甚至研究改暗能量的状态方程，这可能指向广义相对论本身的修改。那样的转变，会让我们重新思考整个宇宙和物理学。
但另一个想法正受关注，它能救回我们的模型，又不用改写自然法则。它只需要一点点旋转。我没开玩笑。二零二五年一篇论文，作者是萨格蒂和萨普迪，法伦克帕奈和巴纳福尔迪也是作者，他们提出我们可能忽略了整个宇宙的极慢自转。这个想法是，宇宙每五千亿年才转一圈。慢到我们根本察觉不到，但足以影响宇宙史上空间怎么膨胀。最让人兴奋的是，初步计算显示，这点旋转能同时解释两个值。把自转加进模型，它预测早期宇宙膨胀率较低，和微波背景辐射一致；今天的宇宙膨胀率较高，和红移测量也对上了。
换句话说，两边可能都对，因为他们是在慢慢旋转的宇宙里，测量不同时期的膨胀。作者之一萨普迪来自夏威夷大学，他引用古希腊哲学家赫拉克利特来解释。他说，万物流转，意思是万物都在流动。鉴于初步结果这么有希望，这话也许在最宏大的尺度上也成立。不过我得谨慎点。作者们明确说，这只是初步计算，只针对哈勃常数。下一步是建更复杂的模型，跑详细模拟，看它在其他观测下能不能站住脚，比如星系分布，还有微波背景辐射的图案。假设只有扛过检验才算数。那我们该怎么看？我觉得这提醒我们，对宇宙要学的还有太多。
但现在要推翻整个宇宙演化模型，还太早。尤其我们也许马上就能找到，让一切吻合的那块拼图。就算旋转宇宙是对的，也不等于推翻我们已知的一切。而是我们的模型多了自转版本，调几个宇宙参数，来反映略有不同的现实。还有值得一提，这想法有个大优点：不违反任何已知物理定律。
不管答案如何，现在看宇宙学正精彩。哈勃发现空间在膨胀一百年后，我们仍在发现，宇宙还有更多教给我们。我个人觉得，想到地球在转，太阳系在转，银河系在旋转，就很美妙。也许在最大的尺度上，整个宇宙也跟着一起转。喜欢这期哈勃张力之旅，就订阅我们，别错过下期。评论区告诉我，你觉得宇宙在转吗？还是答案更奇怪？我是亚历克斯·默瑟，感谢收看，星空下再见。
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