MIT 量子场论·8.323·第01讲：经典场论与局域性原理（完整文稿）
本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第01讲：经典场论与局域性原理》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
课程介绍
对，我是刘宏，叫我宏就行。
我是理论物理学家，研究方向是高能理论，包括弦论、量子引力，还有非平衡统计物理等等很多课题。下面我简单介绍一下量子场论这门课本身。这门量子场论课的目标，是建立概念和方法，来研究场的量子动力学。相信大家都学过麦克斯韦方程。麦克斯韦方程描述电磁场的纯经典动力学。
但我们生活在量子世界。所以电磁场也应该用量子语言来描述。这样做了之后，你就会发现光子这个概念，一旦量子化处理电磁场，就自然得到光子。光子就是传递电磁相互作用的基本粒子。你会得到和经典物理完全不同的图像。
这门课的目标之一，就是让大家理解量子电动力学。这也是课程的终点，到时我们会讲量子电动力学。
量子场论对自然界的其他相互作用也很重要。自然界四种基本相互作用，三种完全由量子场论描述。量子场论也可以用来描述引力，进而描述量子引力，但目前它还不能完整描述量子引力。但它的技术仍有助于理解某些量子引力问题。
量子场论最初是为粒子物理发展起来的，但这些年，它在凝聚态、统计物理等很多分支都有大量应用。可以说，如今量子场论已成为理论物理的通用语言，几乎覆盖所有领域。做理论的人，必须掌握这门语言。就算你只做原子物理或统计物理，场论的概念也非常重要。做实验的人，了解量子场论的基本概念也会大有帮助，能帮你了解最新的理论进展，也方便和理论家交流。
这门课是研究生系列课程中的第一门。这学期主要发展基本概念，后面的量子场论二和三，会更偏重技术上的发展。如果你是做实验的，可以把量子场论一当独立课程，它足够你掌握量子场的基本思想了。呃，这取决于你的基础，要不要学二和三，也可能看你的基础。
好，主要讲的内容列在大纲里，就是这份大纲文档，已经放在网站上了。
要强调的是，大纲只是个粗略的路线图，可能随进度调整。中途可能会有变动，有时我讲到一半会改主意。总之，别把大纲看得太死。对量子场论有问题吗？
好。
学习方法与直觉
另外我想说，量子场论一向被认为是非常难的科目。
说实话，我自己当年学的时候也吃了不少苦。但事后回想，加上多年教授各层次的量子场论课程、接触过很多学生，我现在可以向你保证，量子场论其实一点都不难。只要学的方法对了。当然，任何东西方法对了都不难。这话听着像空话。
但记住，每当你觉得太难了，可能只需换个角度看。你得换个视角。大家对量子场论的一个抱怨是，它经常要做大量计算。确实如此，这是现实，躲不开。但这不是它难的原因。
复杂的计算，一行一行往下推就是了。只要够细心、有耐心，总能走完。我觉得对多数人来说，量子场论的难点更多在概念层面。因为这门课不太直观。光靠想，是很难真正理解的。所以我之前强调，做题、亲手推导非常重要。
这门课是靠例子学起来的，做透很多例子，你会慢慢建立量子力学的直觉；等你把该学的都学到，对量子力学就有感觉了。量子场论也一样，你得慢慢培养直觉。这不是能轻易做到的，对，就像力学，有些科目直觉好的话光靠想象就行。
三条学习建议
那么，为了帮大家培养量子场论的直觉。
帮大家培养量子场论的直觉，我可以给三条建议。第一条建议是，量子场论本质上就是量子力学，但要处理无穷多个自由度。而在量子力学课上，你处理的总是有限个自由度。而量子场论的差别是，要处理无穷多个自由度。事实证明，处理无穷多个自由度确实会带来不同。多了就不一样。
有时甚至会带来概念上的差别。所以量子场论有时不直观。对很多人包括我都是这样。学量子场论遇到的困难，往往不在量子场论本身，其实是你量子力学没学透。所以每当遇到不太懂的地方，不妨退一步问，这个困难能不能只用有限个自由度的量子力学来表述。
困难往往量子力学里就能表述。这样你就能自己解决问题，毕竟我们都该精通量子力学了。我当年学量子场论时，有些地方卡了很久。后来我才意识到，只是因为我没把量子力学的海森堡绘景学透。等你理解了——等真正搞懂海森堡绘景，那些困难就消失了，跟量子场论本身没关系。
所以第一次作业就是让大家熟悉海森堡绘景。这是我的亲身经验。第二点是，量子场论用很多形式化工具。这门课有时显得很形式化，套路一大堆。但请记住，物理学中任何形式化体系，无论多么抽象，它为解决具体物理问题而设计。都是非常具体的物理问题。只要弄清量子场论是为了解决哪些具体问题，那些形式体系就好理解了——为什么这样做、为什么用这个技巧，因为它们都是为解决具体问题而发明的。
第三点我们说过，量子场论和量子力学一样，直觉是通过经验、通过例子积累起来的。做习题的时候，看完课上例子，做完习题之后，要常问自己，总要回头看那道题，问自己从中学到什么，再从头想一遍，反复琢磨。再想想从中学到了什么，这是帮你积累经验、培养直觉的好办法，好。
还有很重要的一点要记住，就是在这样的研究生课程里。大部分内容要靠课外学。课上主要是引导大家，强调概念图景还有物理直觉等等。有时我会留些细节，让你们在习题里完成。有时候习题集会包含课上没有完全展开的问题，我希望你们自己推出来。习题是学习的重要部分，甚至能学到新东西。不只是练习，更是学新东西的重要环节。
记号说明
好，最后一点我要先道个歉。你们很快会发现，课上用的记号和推荐参考书里的记号不一样。嗯。推荐佩斯金和温伯格，我记号不一样讲述顺序也和他们不同。我知道这很烦人。
但没有完美的教材，也没有人人都用的统一完美记号大家都用自己觉得最方便的记号。
这个我知道，但确实没什么好办法。记住，我课上的记号可能和那些课本不同。好，还有其他问题吗。
好，没问题的话，我们就开始。
局域性原理
第一章的题目是——。
为什么要有量子场论。
首先。
先简单讲讲经典场论，为后面打个基础。
在此基础上再讲量子场论。
第一个重要概念，叫局域性原理。
还记得高中学的牛顿力学吗？
牛顿力学里有超距作用。
比如引力，太阳对地球有引力，但它们离得很远。带电粒子之间的库仑相互作用也是这样。
但到了十九世纪，出现了局域性原理，由法拉第提出，大约在。
一八三零年，对吧？局域性原理说的是：空间中任意两点之间，其实没有超距作用。
点之间，其实没有超距作用。空间里所有的点。
空间里的每一个点都参与。
到物理过程当中。
也就是说，如果两点之间有相互作用，这种作用就会从一点传播。
到另一点，对吧？
所以在局域性原理下，没有超距作用。作用总是要传递的。作用总是通过在空间中传播，从一点传到另一点。那。
场呢。
场的概念，是一种数学工具。
或者说一种载体。
局域性原理正是靠它。
才得以实现的。
这就是我们实现局域性原理所需要用的工具。
场与麦克斯韦
场的主要思想是，我们给空间中的每一个点。
空间中的点，配上一个。
分配一个动力学。
变量，或者说几个变量。比如说。
有一个电场。
电场定义在整个空间。
在每个点x上，都能引入一个电场，对吧？这个电场还可以依赖于时间。
当然，习惯上我们就写成e x t。
我之所以这样写，是为了强调，在电场的定义里，空间和时间的角色其实很不一样。空间扮演标签的角色，每个点x上，都有一个电场。所以x只是个标签，t用来描述演化，也就是电场的变化。x和t的角色很不同。
同样地，磁场也可以这么处理。
完全一样，好。
这里你要始终把x看成标签。空间点用矢量x表示，它就是标签。
电场和磁场的演化，由麦克斯韦方程组描述。
我把它们写下来提醒大家。b的散度，等于零。e的散度是。
四派rho。
这就是麦克斯韦方程的微分形式。
我特意把它们写下来，原因是。
是想强调下面这点。这组方程。
完美体现了局域性原理。因为你看，这些方程只涉及电场和磁场在同一点的值。如果这里是x点，这里也在x点，而那边是另一个点y。这就体现了局域性原理，万事万物，效应都从一点传到另一点，只用同一点的导数。
绝不会涉及分开的点。
这些就是我们说的局域方程。
方程里只包含。
以及电场E和磁场B。
同一点。
以及同一点的电荷密度和电流密度，且只含有限个导数。
这些导数呢，是帮你传播效应的，它把一点和邻近的点连起来。就这样靠导数传播。导数是关键，非常关键。
引力与场的类型
另一个局域性例子，这里不讲你们有些人知道，是爱因斯坦引力，广义相对论。
爱因斯坦引力里，动力学变量是时空度规。它是带两个指标的量，两个时空指标。
爱因斯坦方程就是关于它的方程。这些方程同样是局域的，只依赖同一点的g和有限个导数。在爱因斯坦引力里，不再有超距作用。引力效应是在时空中传播的，通过时空传播。
其实啊。
这里我们说，这两个例子体现了局域性原理。实际上，局域性原理在建立这些方程时起了非常重要的作用，因为我们很快就会看到，有了局域性，能写下的理论就会被大大限制，这个原理非常、非常强大。
可以有非局域方程，但一般认为，自然界的基本方程都是局域的。
目前支配自然界四种基本相互作用的方程，全都是局域的。
还有问题吗？请讲。
什么？
再说一遍，我没听懂。
嗯。
哦。在爱因斯坦的理论里，这两个量当然是用同样方式处理的但如果你从场的角度看，它们其实有非常不同的物理解释，对，所以我才这样写嗯。对，跟这里写法一样，道理相同，就是强调这点。
强调x和t扮演的不同角色。你问得非常好。等我讲到相对论性部分，这两个就会变得一样了，扮演完全平等的角色。
回答了吗？好。好。还有吗？
再快速提一下场的不同类型。
好，可以有一种叫做标量场的东西所谓标量，就是在每一点上只取一个值。
只取一个值。比如温度。就是定义在一点上的单独一个量。比如温度。还可能是别的量。然后有矢量场。
E和B就是例子，每点都是一个矢量。
这里用的是三维转动。相对论里，还能用四维矢量转动。比如矢量势。写成这样。A_mu 和时空坐标 x 合起来构成一个四维矢量。每个点都是一个四维矢量。嗯，就这样。
还有张量场，度规就是一个例子。这里有两个分量、两个指标，有很多很多分量，都随位置变化。还是写成指标记号，我可以把它写成带指标的。在每个点上，是一个带两个指标的量。以后还会见到旋量场阿尔法是另一个指标，以后定义。
还可以有旋量场，阿尔法是指标。
按惯例。
mu 取0到3。有时我直接写x。这时指四维矢量，x mu 就是 ct 和 x。x 矢量总是指空间矢量。好，就等于 ct 和 xi。
空间指标一律用 i 表示。偏mu就是 c 分之一乘以对时间的偏导。另一部分是空间方向的梯度。四维矢量的惯例是：A0 加上 A 矢量，就是 A0 和 Ai，i 表示空间分量。这是我最后一次写光速。c取1，h bar也取1。
这是为了记号方便。
有问题吗？
好。
作用量与拉氏密度
现在，有了这些准备，我们讲作用量原理。
经典场的。
先回忆，经典力学里。
我们引入作用量，是拉格朗日量的积分。拉格朗日量是x、x点和时间的函数。所以这是一维的，8比1，一维粒子运动。还可以引入正则动量，定义为L对ẋ的偏导数。然后再定义哈密顿量。哈密顿量与拉格朗日量的关系是p乘ẋ减L，来自勒让德变换。
运动方程是。
由对S取极值得到。
S可以看作轨迹的泛函。对任意轨迹，让S取极值，就得到运动方程。
现在推广到场论。
现在从局域性原理。
场论中按局域性原理。
拉格朗日量的形式。
拉格朗日量L的形式。
场论里，同样把S定义为拉格朗日量的时间积分。
L的形式受到很大限制。
必须长成下面这样。一定得是这个形式。
L等于空间积分，对所有空间方向积分，就是d三次方x。还有对a求和。我先把这些记号写下来，再解释。
好。就写成偏导 i吧。
好，那我现在稍微解释一下这些记号。
首先，这里我用简写，代表各个场，记作phi a。它是空间和时间的函数。
是任意的场。
而a。
标不同的场。
a标记不同的场。
比如a可以标记不同的标量场，有多个标量场时可以区分它们，也可以指代指标。比如时空指标，像mu，等等。总之a标记你有的任意场。好。
然后，第二点是。
这里的L，花体的L。
是函数。
重点是函数。
是phi a的函数。
以及这些导数。
这些导数。
换句话说，这个L，这是个关键点。也就是说，这个L只依赖于phi a 的值。
和这些导数。
在某点。
比如x处。
然后对所有。
比如x，然后对所有x做积分。好。
所以这个L叫拉格朗日密度。
什么？
再说一遍？对对对，好的。
对，后面会讲，会提到。
这里我只是解释一下记号，好吧？
拉氏量的约束
现在我来解释，为什么拉格朗日量。
必须是这种形式。
第一。
局域性原理意味着。
这里必须只涉及单个积分。
因为局域性不允许。
这种项。
比如说。
不允许这样的项。
不允许这种项，也就是包含不同点的phi的项。好，为什么？因为拉格朗日量里有这种项的话，后面你们会看到，哦，抱歉，是L，不是花体L。
如果拉格朗日量有这种项，后面讲运动方程的时候，你会发现方程不是局域的。好，运动方程会包含场在一点的行为，而这个行为会受远处某一点的影响。这样就不局域了。所以局域性是很强的约束。因为一旦放弃局域性，原则上拉格朗日量可以任意复杂，想加多少个积分都行。但因为局域性，只能对一个函数做y积分，这是关键。
那不允许。这是关键。
第二点，我们只允许。
时间的一阶导数。
只允许一阶时间导数，不许二阶。原因是，等你看运动方程就知道，如果在作用量或拉格朗日量里放了二阶时间导数，得到的运动方程会包含超过两个时间导数，对吧？所以呢，这就意味着运动方程只含两个导数，也就是两个时间导数。
这个约束来自我们的经验。道理一样，我们只放一阶时间导数。因为现实中，所有实验都由初始条件决定。初始条件只需要指定位置和速度，对吧？你不需要再指定更多条件；但如果是商运动、导数超过两阶，就需要更一般的初始条件。这里道理一样，只允许一阶时间导数。原则上，空间方向可以放任意阶导数，明白吗？
但为了简单起见，正如我们将看到的，大多数时候我们只考虑狭义相对论下的量子场论。就是有相对论不变性，比如洛伦兹不变性。这时空间和时间地位平等，可以互相变换。时间只有一阶导数。
我们后面的例子，空间方向也都只有一阶导数。但非相对论性系统可以有更高阶的。好，这有疑问吗？
动量与哈密顿量
好，那么。
就像经典力学那样，我们可以引入正则动量、哈密顿量等等。这里也一样，可以引入所谓的正则动量密度。
为什么叫密度就清楚了。大家要记住，对phi来说，x只是个标签。你可以这样看这个理论。这理论本质上有无穷多个变量。记号容易混淆。质点力学里x是动力学变量。但这里x只是个标签，对，这里x是个标签。
所以你可以想象这里有无数个自由度，每个都用x标记。想象有很多很多x，它们只是标签。对每一个，我们都能引入动量，每个phi a都引入正则动量。
好吗？phi a上面加点，就是对时间求导，好吗？它定义为拉格朗日密度对phi a时间导数的偏导数。这就是这里的推广。记住，这是在空间每一点上取值的。
每一项，对，这个东西也依赖于x和t。好吗？
哦，这就是大写的pi，对，大写pi。
phi a上一点就是时间导数。
记住，x是标签，这里不起作用。之所以叫拉格朗日密度，因为它确实是个密度。同样办法，也能定义哈密顿密度。
于是我们就有了。
我们定义了哈密顿密度，就是phi a的时间导数乘以pi a。再强调，这些都取在同一点，还要减去拉格朗日密度。这才是哈密顿密度。然后哈密顿量。
对全空间积分，把自由度加起来。
好吗？
就这样。请说。
对，就是这样。就像求和，如果把这个，对，这个a指标要求和。我一直……对，忘了提，好问题：我一直假设用爱因斯坦求和约定。重复的指标都要求和。不管有多少分量，都把a加起来。好，a求和。
这儿。
好。
还有吗？
好。
变分与运动方程
现在讲运动方程。
这和经典力学一样。
经典场论跟经典力学一样，推广到无穷多自由度。空间每一点，都对应一些自由度。
现在看运动方程。
还是老办法，对作用量变分，让它等于零。作用量还是定义成，拉格朗日量对时间的积分。
S是dt l，可以写成对dt和dx的四重积分，积分这个拉格朗日密度。
我来写一下。
我用最简洁的写法，只假设有一个时间导数，一个空间导数。好，这里的 mu，我把空间和时间导数合在一起。也能直接推广，比如含更多空间导数。
好，这里我们就来做变分。要求德尔塔 S 等于零，就是让 S 的变分为零。现在来算这个 S。
现在是d4x，记住这个密度不是泛函，由于局域性原理，它只是phi a及其导数的普通函数。我们可以直接做变分。写成L对phi a偏导乘德尔塔phi a。
加L对mu phi a偏导。
乘德尔塔 mu phi a。
这时候。
德尔塔是变分，跟 mu 偏导这两个操作互相独立，可以交换，把德尔塔放到里面。就等于德尔塔 phi 的 mu 偏导。
第二项可以分部积分。
现在可以做了，这里稍微别扭，因为动的是偏导数 μ 乘德尔塔 phi a。同样，重复指标都要求和。所以要对它们求和。这里就能分部积分了。
然后就得到 d4x。
得到的就是，L 对 phi a 的偏导，减去 mu 作用在，L 对 mu phi a 的偏导上，然后整体乘德尔塔 phi a。
再加上边界项。
边界项来自这里的分部积分。
你在这里做分部积分。边界项正比于德尔塔 phi a嗯？
这只是任意的变分，任意变分。
还有问题吗？
好。我们总是假定有边界条件，好，这样边界项就等于零。这里就不细讲了。我们总是把 phi a 的变分选得。
让边界项为零。
这项来自分部积分。
第二点请记住，重复的指标是。
要求和的。
那么。
这样边界项为零，不用管它。现在就要求这个等于零。但是对任意变分都得是零，delta x mu 任取。
可以是 x 的任意函数。所以唯一的可能，就是这个前面的系数得是零。这就意味着对 phi a 的偏导减对 mu 偏导项为零。
这就是经典场论里，一般的运动方程。
有问题吗？
对称性与实例
好。从现在起，我们做两个限制，好吗？
为了简单。为了简单，我们做两个限制。
大部分讨论可推广到这些情况之外第一个限制是，我们只考虑平移不变的场。
对吧？
就是没有特殊点。就是说，理论里没有特殊的时空点，对吧？在波士顿做实验，和在华盛顿做，结果一样，对吧？如果理论不是平移不变的，那么你在波士顿做实验，结果就会跟在比如纽约做的不一样。第二个，假设洛伦兹不变。
比如有些凝聚态问题，里面没有洛伦兹对称性，但类似方法照样可以用对。这两个方面我们后面都会再多展开讲一点。
好，下面给大家几个简单例子，都是满足这两个条件的经典场论。
第一个例子，是麦克斯韦理论。
它的动力学变量是。
就是这个四维矢势 a mu。
现在我用四维矢量的记号，常常把 x 的指标省略。是四维矢量。
由 a mu 可以定义出场强。
E、B 由 Fmunu 得到。B 从 F mu nu 得到。电磁的作用量就可以。
得到。
这就是电磁场的作用量。不含带电物质。对它做变分得到运动方程，就得到无源麦克斯韦方程组。得到真空麦克斯韦方程组。
你看，这种形式的作用量对应一个局域理论，只是对时空的一次积分。
第二个例子是爱因斯坦引力。
它也是经典场论。
我先把作用量写下来，它写成牛顿常数乘。
g 是度规。不懂爱因斯坦理论也没关系。R 是里奇标量。不知道爱因斯坦求和也没关系，写下来就是想说明：这是局域理论，只涉及某个量的单一时空积分。
标量场论
接下来是最简单的量子场论，叫标量场理论。
因为我想我把它擦掉了，因为它涉及矢量场。这就是矢量场。每个时空点都有一个矢量。爱因斯坦引力里，动力学变量是张量，甚至更复杂。最简单是标量，每个时空点只有一个数。
我们看最简单的例子，考虑一个。
实的标量。
场 phi。
先取实数，也可以考虑复数，但最简单是实数。每个时空点一个值，这就是动力学变量。
现实中有许多标量场的例子。比如说，有个很有名的希格斯场，它是很多年前发现的，是一个实标量场。还有派介子，派粒子可以看作标量场的激发。
总之呢。
最简单的一类标量场作用量，形式如下。
直接写下这个作用量。
可以论证，这是满足局域性时能写出的最一般作用量。
局域性，还有平移对称性。
还有洛伦兹对称性，洛伦兹指标都缩并了。导数的洛伦兹指标缩并了，这就保证了理论是洛伦兹不变的。V 就是 phi 的某个函数。这里的 V 只是 phi 的某个函数。
这就是最基本的理论，基于局域性能写出的最简单理论。比如一般可以把 V phi 取成多项式。对，它是 phi 的某个函数。
有了平移对称性。
意思是：在这套理论里做实验，处处结果都一样。
这就意味着，这里什么都没有，没有任何参数，V 作为 phi 的函数必须嗯，抱歉，所有参数都在。
V phi 必须是常数。
它们不能依赖时空。
必须是常数。
要是有参数依赖时空，当然，不同的空间位置、不同的时空点表现就不同，就没有平移不变性了。
我们来详细算算这个理论。
先写出拉格朗日量，再试着求它的动量。
哈密顿量。
动量密度。这里只有单个场，所以没有指标。所以 π(x) 就是对这个求导。这是 L。括号内即 偏导 L/偏导 phi 乘 phi。看这里的时间导数，用四维矢量写法，就是 phi 点平方。把它展开，动量密度就是 phi 点，也就是 phi 点 x。因为。
偏导 mu phi，偏导 muphi 等于负 phi 平方加……
然后就能求出哈密顿密度。
π phi 点减 L，然后你会发现它由下式给出：全用动量来表示。
运动方程呢？
代进去，代到这里，得 达朗贝尔算子 phi 加 V′(phi) 等于零这里的 partial square 是简写，定义为 partial mu 乘 partial mu。这就等于负 phi 点平方，加上梯度平方。
再给几个简单例子也就是 V 该怎么取。
最简单。
的情况，就是你可以取。
V 当然可以先取常数。但常数不起作用，所以最简单就是 V phi 等于线性项。
由时间平移对称性，这个 f 必须是常数，不能依赖时空。如果它依赖时空，就会破坏空间平移对称性。运动方程就是 达朗贝尔算子 phi 等于 ff 是常数。
这时，本质上就是有个类似常数的东西作为 phi 的源。这种情况下我们说这个系统有外力。
我们把这个 f 叫做外力。因为只要 f 不为零，phi 就不可能为零，必须是非零的。所以从某种意义上说，phi 会被激发，总会被产生出来，只要 s 非零，就总会产生非平凡的 phi。好，这里我们把它叫做外力。所以通常我们一般不想考虑 f。通常在正常情况下我们会考虑在你们关心的情形里，没有外力。系统自己演化。这种情况下。
那忘了外力，最简单的情形就是V取phi的平方。
取 phi平方，最简单的项，m平方 是常数同样来自平移对称性。
这时，运动方程 达朗贝尔算子 phi 加 m平方phi 等于零。
这是个非常著名的方程。这就叫做克莱因-戈登方程。
下节课大家很快会明白，为什么它这么有名。对，这就是我们能考虑的最简单的一种场论。你还可以考虑更复杂的场论，让V取更高次多项式，或更复杂的函数。方程但记住，取平方很特殊。因为是平方，方程就是线性的。
但只要不是线性或二次的，就会得到非线性方程，事情就复杂了。非线性方程总是很复杂。总之，这就是我们要考虑的最简单的理论。今天就到这儿。