MIT 量子场论·8.323·第02讲：对称性与守恒律（完整文稿）
本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第02讲：对称性与守恒律》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
开场与约定
我们开始吧。先提一下，上次忘了说，我一直都用这个度规约定。就是闵可夫斯基时空这个度规。所以时间分量取负一，空间分量取正一。
回顾场论基础
好，先回顾一下上节课的内容。
上节课我们讲了局域性原理。
这个原理很强大。
它自然引出了场的概念。
之后我一般都用这种记号来表示场。抽象地谈场时，就用这种写法。其中 phi 和 a 只是区分不同场的标签，场既依赖空间坐标，也依赖时间。物理上，可以把空间依赖看成自由度的标签。每个空间点都是一个自由度，时间描述它的演化。
本质上，这就像，经典场就像经典力学，只是自由度变成了无穷多。经典场论就像经典力学，但自由度有无穷多个。
因为时空每一点上都有一定数目的自由度。
局域性原理还意味着，这些动力学变量，也就是场，作用量必须取局域形式。
作用量总是一个时空积分的形式，里面有个函数叫拉格朗日密度。它依赖于场 phi 在点 x 的取值，以及 phi 的导数。
因为局域性，作用量的形式非常简单。
在经典力学里，可以引入与动力学变量共轭的正则动量。每个点都有共轭于 phi a 的动量密度。
phi 点就是 phi 对时间的导数。然后还可以引入哈密顿密度，就是 pi a 乘 phi 点 a。a 求和后再减 L。哈密顿量就是把密度对空间积分。
再看运动方程。对作用量做变分，就得到运动方程的一般形式。
就是这种一般形式。
最简标量场论
研究场论跟其他学科一样，都从最简单的例子开始。最简单的例子是单个标量场，就是一个标量场。
只有一个指标，就是 phi，不依赖时空点 x。这种标量场最简单的作用量，可以根据一般原理直接写下来。
上次说过，标量场最简单的作用量就是下面这个形式。phi 偏导的平方。
加上 m 方 phi 方。这里的符号由度规约定决定。
这就是我们能写出的最简单的标量场论。这里我写的是phi的二次函数，上次我们写的是一般函数。这里的动能项来自洛伦兹对称性。这是洛伦兹对称性下，能写出的最简单导数项。还可以有更复杂的项，比如把这项取平方，但那更复杂，所以这个最简单。
这就是我们要先学的最简单的场论。好，在这种情况下。
在这个例子里动量密度就等于pi，就是phi的时间导数。
它是对时间的导数，然后呢，运动方程，它是线性方程，就由它给出。
这是个很简单的理论，运动方程也很简单，但后面会看到，它能教给我们很多一般场论的东西。这只是快速回顾上节课的几个要点。大家有问题吗？
嗯？对，没错。
对，phi是实数场。
对，phi只取实数值。
还有吗？
好，很好。
对称性的定义
现在我们讲经典场论讨论的第二个话题。
对称性。
当我们有一个理论，比如说有这样一个作用量，我们就说它有对称性。对称性定义如下。
对称性是某种变换。
把每个场phi a变成phi的某个函数。
这个新的phi a可以依赖所有可能的场。也就是对动力学变量的某种变换。这里的撇号只是另一个函数，不是求导。它要让作用量不变。
对吧？
只要满足这一点，我们就说这是一个对称性。
比如在这个例子里。
我给这个方程标个记号，就叫它星号方程。
在这个星号方程的例子里。
比如说，这个对称性包括平移。
设想我们做坐标变换。
对坐标做一个移动。
常数移动。
设想把坐标平移一个常数。
其中a mu是常数，所以a mu是。
一个常矢量，现在假设phi这样变换。改变坐标，其实就是换掉场上的标签。但场的值不该变。也就是说，phi在原点的值不变，变换后的phi在新点的值，等于原来那点的值。好，假设phi这样变换，标量场应该。
这样变。
在一般的时空变换下。这是时空变换的例子，一般的时空变换是。
按这个方程。你换了标签，但phi的值不变。新phi在新位置的值，等于原位置的值。
大家可以自己验证一下。我这里就不推了，留给大家当练习。可以验证，这个作用量在这种x变换下是不变的。
有问题吗？
第二种不变变换，是洛伦兹对称性。
洛伦兹变换是另一种时空变换，作用在坐标上，把x mu变成lambda mu nu乘上x nu。这个lambda mu nu是常数。
洛伦兹变换矩阵。
是常数矩阵。这种坐标变换下，phi也这样变换。phi就该这样变，大家可以自己验证。由于偏导指标的缩并，它确实是对称性。这个也留作练习，你们的习题里会做类似的。
有问题吗？
好。
对称性的分类
像平移和下面这种变换，这类就叫连续对称性。
连续对称性。
就是这些变换。对了，这个方程也标个号，就叫三个星号吧。连续对称性就是像星号。
那种变换，带有连续。
参数。
所以前面一和二都是。
显然是连续对称性。
从这就能看出。这里的变换是A，A是四个数，是个四维矢量。A可以任意取，它是连续参数。可以取零，也可以各方向取零点一，等等。它能连续变化。同样地，同样地，洛伦兹变换也带连续参数。大家还记得四维洛伦兹变换有几个连续参数吗？对不对？
对。对，六个。三个空间方向，三个转动，再加三个助推，一共六个。所以这里有六个连续参数。
这里四个。好，这里是四。两个都是连续对称性。
反之。
这个拉格朗日量、这个作用量有很多对称性。
它们不连续。能说说是什么吗？
很好。宇称，这是个不错的答案。但还有个稍微更简单一点的。
注意，这里都是phi的二次项。
发现了什么？
这里有个对称性，很多对称性。
就是phi变成负phi，因为它是二次的。当然，还有一种叫做宇称的对称性。
也就是x变成负x，空间方向x变成负x。phi也照这样变换。可以验证，这也是对称性。这两种都不带连续参数，所以叫分立对称性。
对，它们没有连续参数。这两个都叫Z2。Z2的意思是，变换做两次就回到恒等。这里做两次……对，做两次就变回原样。做两次回到自身，我想这就是一样的。这里是Z2变换。另外，对称性还可以分成，比如说，连续对称性。
或者分立对称性，看有没有连续参数。对称性还有别的分法，分类方式很多。比如规范对称性和整体对称性。它们是整体对称性。
它的变换参数。
与时空无关。
这两个都是整体对称性的例子，因为参数只是常数，不依赖时空。lambda也不依赖时空。还可以有局域对称性。
这种情况下，变换参数。
就是。
随时空变。
局域变换的例子，你们可能记得，就是电磁学里的规范变换。在电磁学里，总之以后会讲。我们回到电磁学，你们会看到这种局域对称性的例子。
有问题吗？
它改变作用量，但不改变运动方程。这算类似吗？嗯，就作用量来说是这样的。对，这个问题很好。按定义，如果它让作用量保持不变，我们说它是对称性。一般来讲，实际上几乎总是，如果作用量不变，运动方程也不变。对，但不保证。纯数学上不保证，但所有物理例子里都成立。几乎都一样。
还有吗？
好。
诺特定理
接下来，有个非常简单，但很深的联系，就在对称性和守恒律之间。大家可能早就听说过了。其实我都忘了自己是啥时候学到的。有人高中就学过，有人大学才学，等等。总之，对称性和守恒律之间是有联系的。
任何守恒律都能理解为对称性的结果。经典力学里你们可能还记得，时间平移。
导致能量守恒。
而空间平移。
对称性，就导致动量守恒。
如果是转动对称。
就对应角动量守恒。
这些大家应该已经知道了，经典力学里学过。但在经典场论里，这能推广。这里，有个诺特定理。这定理最早由艾米·诺特发现。
任何连续整体对称性。
都导致守恒律。好。
导出守恒律。
不论哪种对称性，除了熟悉的那些之外，不管什么对称性。只要系统有连续整体对称性，那系统就有守恒律。好，现在我来证明这个诺特定理。证明之前，对它的表述有问题吗？
嗯？这像是定义。你说连续对称，就是连续依赖一个参数。如果想写个式子来专门刻画连续对称，也有办法。我会展示，比如怎么判断。对对，你就看有没有连续参数。就看有没有参数。
这样回答你的问题了吗？
对，一般看有没有参数就行。把变换写出来，一眼就能看出。这里就没有变换参数。洛伦兹变换和平移，都能直接看到参数。
好。
连续对称性有个重要特点，就是因为它有连续参数，你可以连续地把它变到恒等。平凡变换就是不做变换，对吧？这时 mu 等于零，平凡变换就是 lambda mu 等于单位矩阵。再想象一下。
稍微做一点无穷小旋转或 boost 变换，这就对应所谓的无穷小变换。这里你也可以把 a mu 取得小一点，非常接近恒等。所以基本上对任何。
整体连续对称性来说。
都有无穷小形式。
就是变换参数非常接近零，非常接近恒等。比如对像这样的一般变换，如果它很接近恒等，那么总可以把它写成下面的形式。phi a 变成 phi a 撇，就等于 phi a。
加上一个小参数伊普西隆，和某个函数 f a，比如 phi b 和它的导数等等。好，这个伊普西隆就是。
无穷小变换的参数。
所以只要有个连续对称性，就总有无穷小变换。它接近恒等。这里的伊普西隆，对应这种情况就是 a mu 很小；洛伦兹变换的话，就是旋转角很小，或 boost 很小。所以伊普西隆可以是其中任何一个参数。
而这个 f 可以是任意函数，可以是场的任意函数，好。
好，那这里德尔塔帽 phi a，用旋转的例子来说，这个对称变换就由伊普西隆 f a 给出，好。
这里的德尔塔帽，指的就是无穷小的对称变换，好。
诺特定理证明
现在我们来考虑，作用量 S 在这个德尔塔帽下的变分。按定义。
既然这是对称性，德尔塔帽 S 就应该等于零。
因为对称变换下，作用量的变分应当不变，好。看看后果是什么。现在只需关心这个 L。
这就意味着，这个 L，也就是拉格朗日密度，它的变化必须是全导数。
因为每个变换都正比于伊普西隆，它是个小参数。做变换时，只需保留伊普西隆的线性项。所以 L 的变换，也正比于伊普西隆。既然必须不变，那 L 的变化就必须是个全导数，好。所以一定存在某个 k mu。一定得有某个 k mu，好。k mu 也可以为零，这时拉格朗日密度不变。是吧？
德尔塔帽是变换下的变分吗？德尔塔帽就表示这样一种变换。它只指这种变换。不是一般的变分，是很特定的，是对称变换。
在对称变换下，按定义作用量应该不变，因为这是对称性。而这又意味着，因为 S 是 L 的积分，所以 L，也就是拉格朗日密度，它的变化必须是全导数。这里我们只保留伊普西隆的线性项，所以它正比于伊普西隆乘全导数，好。所以我们必须有这种结构，对某个k维的球，好吗？可以为零。
也可以是零。好，那现在我们来看这个方程有什么含义。这个方程就是对称性给出的约束。好，下面看看这些约束意味着什么。
现在我们直接对L做变分。
现在对L做变分。
那个方程先留着，我先写这块板。
就是说，如果某个东西是你系统作用量的对称性，你会直接对它变分吗，比如变个参数，然后证明作用量不变呢，还是你会这么做，比如它是1，然后来证明？所以我们要利用这样一个事实，就是这种变换是对称性，用它来推出拉格朗日量要满足的约束。
也就是对理论的约束。我们假设理论有某种对称性，然后看这给理论带来什么约束。对，证诺特定理。
好。还有吗？
所以这个方程就是。
对称性给出的约束。我们想看看，这个方程到底告诉我们什么。为此我们直接做变分。所以这个德尔塔帽L，因为L只是phi的函数，所以有偏L偏phi A，乘上德尔塔帽phi A，然后再有一项，偏L偏，偏mu phi A。
再乘上德尔塔帽，偏mu phi A。好，这样我们就做完了变分，好，现在，好，那接着往下走，现在我们要用运动方程了。好，从运动方程出发，偏L偏phi A这一项，它就等于偏mu，偏L偏偏mu phi A。好，那我们就把这一项代到这里面。等你代进去之后，你就会发现，这一项就变成了一个全导数。
这样你就有偏L偏mu phi A，还有。
乘上德尔塔帽phi A。
用了运动方程之后，这个德尔塔L就变成了全导数。
而它应该等于右边，要等于右边的。
这里我们发现，它等于伊普西隆偏mu k mu。
好，两边合在一起，代入它等于伊普西隆乘F A，就得出结论了。好，结论就是偏mu。
偏L，偏偏mu phi A。
乘F A，再减k mu。
当成mu看。好吗？那就叫它j mu。
就有守恒方程，∂μ jμ，两个μ看作同一个指标。
好，守恒律有了。
记住，守恒律就是找一个满足这个方程的矢量，然后，对。
更明确地说，j mu就是这个组合，j mu就是这个组合。有疑问吗？这个条件挺奇怪，因为要求对时空的导数为零，但这里对时间的导数也可以守恒呀。对对对，我会讲的。对，这比你平时见到的要强。可以说，这就是经典力学守恒律的时空版本。这是它的场论版本。好，我待会儿把这个方程再细讲一下。
嗯？那。
变换时。
会产生什么效果？
我再说一遍。
它做变换。
这里呢，对对。这是一个一般的表述。这个变换可以很一般。不必是我们之前说的时空变换，它只是某种抽象的对称性，就是任意的一些变换。
是场的变换，不是空间的变换吗？对，时空变量是哑变量，在作用量里可以消掉。x不变，x只是作用量里的哑变量。因为要对x积分，对吧。
对，那可以包含，一般来讲，对，原则上想要多少阶导数都可以。但通常，我们的作用量只含一阶导数，对称变换也只涉及一阶导数。
那种情况先不讨论。
对，原则上可以有。我只是为了简单才这么写。
嗯，可以下课再问。这个还不清楚。还有问题吗？
守恒流与荷
好，那我把这个方程再稍微展开讲讲。这个方程你们在电磁学里可能见过，通常叫连续性方程。把方程拆开写，形式就是，∂0 j0 加上 ∂i ji，也就是空间分量的散度。那这个j mu，如果把它写成。
具体写出来，就是这样的形式。
这就是所谓的连续性方程，就是密度随时间的变化。0分量可以看作某种密度，它随时间的变化等于流的散度，明白吧？特别是，可以定义一个荷，就是把j0对全空间积分。明白吧？把两边对整个体积积分，左边就变成对时间的偏导，q。这一项变成全导数，再用高斯定理化成边界项。而流在无穷远处通常为零，于是只剩电荷那一项。
就剩电荷项。好，这就是场的版本。经典力学里你通常只有这个方程，这就是守恒律的场论版本。
嗯？
是这样表示的吗？怎么知道J代表什么？J代表什么？嗯，会的。你会在习题里做。给我一个具体的拉格朗日量，再给定一个具体变换，就能找出所有这些量，能明确求出K，也能求出那些量，然后就能得到J。
有问题吗？
请讲。
对，如果我们这里有。
如果德尔塔s等于零，你把它直接代进去，这个量要积分。如果它是零，那它必是全导数。
有问题吗？
嗯，这属于整体对称性的问题。对，你说得对，这个问题问得很好。这里没时间细讲，我快速提一下，这叫诺特第一定理。伊普西隆不依赖时空时是这样。当它依赖时空时，情况就复杂一点。伊普西隆要待在全导数里面，不能拿出来。故事就变了，有个叫诺特第二定理的东西。当伊普西隆依赖时空，也就是有局域对称性时，你得不到守恒律，反而发现运动方程，会发现方程的某些部分是冗余的，不是全部。嗯。
这不难。原则上我可以把它放进习题里，你真想看的话。嗯？关于恒等变换的问题。方程在变换下会怎样？好，很好。这就是物理的美妙之处，量子力学里你可能已见过。每当我们遇到一个对称性。
不管它多复杂，比如某种连续对称性，只要理解它在恒等变换附近的行为，也就是无穷小变换，就够了。因为任何有限变换，都能由无穷小变换累加而成。知道无穷小变换后，除了一些整体拓扑结构，基本就定出整个有限变换。嗯。
不，那总还是对称性，对吧？因为每一步都是对称性，加起来、加起来，仍是对称性。
或者做别的组合，也还是对称性。按定义嘛，如果变换下不变，连着做多次变换也不变。
好，还有问题吗？嗯，对于分立对称性，我们没有这个……对不起？分立对称性，我会做类似的事。一般说，这时你没有这样的守恒律，有时仍能定义某个分立量子数，它是守恒的，比如宇称那种情况。但不会有流。好，这里的J mu叫守恒流，但没有流。
好，我们这部分讨论就到这里。
迈向量子场论
简短讲讲经典场论的重要特点。有了这些准备，现在我们可以开始考虑进入量子力学，来谈量子场了。
这里正好可以停一下，回顾讲过的经典场论，稍微展望一下量子场论。这里我再重申一下量子场论的目标，上次课已经简单讲过。
我们已经见过经典场，目标就是理解它的量子版本。经典场论就是有无穷多自由度的经典力学。现在要把这些自由度量子化，就得到量子场。我们要理解这种场的量子动力学。举个例子，比如电磁场，我们有电磁场。你知道麦克斯韦方程组，能把它解出来，这就定义了经典场论。
然后我们会讲怎么量子化这个系统，来理解电场和磁场从量子力学的角度。
好，这就是我们的目标。我们从最简单的场论开始，就是标量场论。然后讲描述电子的狄拉克理论，最后我们再讲一个理论。它描述电子和电磁场，就叫量子电动力学，这就是这门课的终点。
好，那现在我们来讲讲。
怎么从经典场论走到量子场论，先讲几点一般性的说明。在这之前，先想想自由度很少的经典力学是怎么过渡到量子力学的。好。我们来回顾一下。
经典力学里。
看最简单的例子，只有一个自由度，比如x(t)。就是一个一维粒子，它的运动就用x(t)描述。当然，经典力学的目标就是解出x(t)的运动方程。写下x(t)的方程，解出来，就完事了，就完事了。经典力学就解完了。
到了量子力学。
怎么办？x(t)就变成算符。
经典动力学变量变成了量子算符。x(t)的运动方程，如果你还记得，它变成了什么？
它就是海森堡方程。
就是这个算符x(t)的。
海森堡方程，对吧？
量子力学通常有两种描述方式，首先是薛定谔绘景。
这时你有一个波函数。
是x和t的函数，还有个算符x。
当然还有共轭动量，就定义为x点。
那么波函数就是本征值的函数。
这里的x要理解成，算符x hat的本征值。就是x hat的本征值。薛定谔绘景里，你解psi的演化方程，找到psi后，就能算任何想要的量，比如期望值。
还有振幅等等。第二种方法是海森堡绘景。
这时，动力学量是算符，假设算符随时间变。薛定谔绘景里x是常算符，不随时间变。海森堡绘景里，算符随时间变。
运动方程呢，你解海森堡方程，然后态不变。态不随时间演化。你解算符的海森堡方程，解出来后，就可以算你感兴趣的任何态里的期望值。
有问题吗？这是从经典力学到量子力学的快速回顾。好。
场的量子化
现在到场论。
场论里我们做类似的事。
同样地，在。
场论里我们有经典场，好，有经典场，然后到量子时。
变成量子算符。
对，现在就是量子算符。
记住，场论里这个x只是空间点的标记，不是动力学变量。记号有点容易混。经典力学里它是动力学变量，场论里只是标记。它们不是动力学变量，动力学变量是phi本身，所以phi变成了算符。phi的经典运动方程。
推导出来后，就变成phi hat。
的海森堡方程。
这里同样有两种绘景，薛定谔绘景和海森堡绘景。
对于量子场论。
薛定谔绘景，还是看动力学变量的波函数，即它们的本征值。
那psi xt怎么推广？记住，psi是本征值的函数，动力学变量的。
把这个类比推下去，量子场论薛定谔绘景里，波函数该是。
phi x和t的函数。这些phi x就是。
phi hat x的本征值。薛定谔绘景里，phi 算符不随时间演化。你有波函数，这个函数会变成泛函，因为它本身是空间的函数，然后你解它的薛定谔方程，就得到算符。
然后就有了算符，也就是 phi x 这个算符。好，这就是薛定谔绘景的做法，在薛定谔绘景。而在海森堡绘景。
你不管波函数了，看算符怎么演化。
场论里。
场的海森堡绘景，就是看 phi x t 的演化。它服从海森堡方程，就是 phi 经典方程的量子版。你看它的演化，态不随时间变化。对吧？态不随时间变化。
好。有问题吗？
有。
嗯。
薛定谔绘景里要记住，x 只是 phi 的标记，时间才是演化。但薛定谔绘景里，算符不演化，所以这里没有时间。它就像量子力学里那个 x 算符。时间依赖都在波函数里。波函数就是 phi 算符各种可能取值，即本征值的函数。
好。海森堡绘景呢，你只盯着算符方程。解出算符方程，就能算任意态的期望值。好。现在你可能已经看出点区别了。用薛定谔绘景，你得对付这个庞然大物。
也就是空间上函数所有取值的波泛函。要是有多个场，那就复杂得吓人，还得写薛定谔方程等等。但在海森堡绘景里，我们只解类似经典运动方程的东西，而且早就写好了。把它当成量子算符方程就行。你觉得哪个更简单？
所以量子场论里，我们几乎都用海森堡绘景。我们总用海森堡绘景，很少去想波函数。虽然有时波函数也有用，但多数时候海森堡绘景更简单。我们就这么干。量子场论里，我们几乎一直用海森堡绘景。从现在起，我不再讲薛定谔绘景。
好，这点很重要。你要提醒自己用海森堡绘景想量子力学。因为你们以前的量子力学课，可能全在薛定谔绘景里。解波函数、解薛定谔方程什么的。现在你得换个视角，一切用海森堡绘景来想。这样在量子场论里就轻松多了，好吗？
好。对此有什么问题吗？
问一下，海森堡绘景里，要是不管波函数那些，那怎么确定，比如说，位置 x 的概率，或者期望值怎么算？很好很好，这是个好问题。这其实跟我们在量子场论里要解的问题，也有关系。在量子场论里，我们常和真空态打交道。比如这里。
研究量子电动力学时，电磁场大多时候都处在真空态。所以我们只考虑真空态里的 psi，其他都不用管。对，就是这样。通常就关注我们感兴趣的态。
这就是海森堡绘景方便的地方，不用考虑一般的态。请说。
这个态的物理意义是什么？哦，它只是你关心的某个态。你有希尔伯特空间，但现在，研究演化时，只演化算符，不演化态。这就是薛定谔和海森堡绘景的区别。比如，在量子力学里，用态去算算符的期望值，得到各种结果。那这里呢？其实一样。到这个层面，量子场和量子力学没区别。就把量子力学用海森堡绘景来想，把薛定谔演化那套都翻译过去。
还有？
嗯？对，没错。那我们能说只关心真空态吗？要做哪些测量呢？嗯，这又是个很好的问题。我该说的是，我们关心的态都接近真空态，就是把真空稍微激发一下。真空里当然什么都没有，我们关心的是接近真空的态。后面讨论时你们会明白的。
好。那么。
在进入。
量子场论。
我们再补充几句。简单讨论一下相对论性量子力学。好，简单想，如果有狭义相对论。
量子力学。
想推广的话，你们学的大多是非相对论性量子力学，对吧。那要把狭义相对论和量子力学结合起来，会得到什么呢？
你们觉得呢？
我猜，想到什么就说什么。
对，这就是答案。
答对了。不过我本想有人说，相对论性量子力学。
简单说。
把这两者结合时，特别是，如果你读一些老的量子力学书，书里确实讲相对论性量子力学，这两者一结合，自然就得到它。你会说，哦，这就是相对论性量子力学。但这说法不对，严格来讲，这就是为什么没多讲相对论性量子力学，因为严格说，它并不存在。只要想把量子力学和狭义相对论结合。
得到的就是量子场论。它其实是被逼出来的。想统一狭义相对论和量子力学，就得要它。就算你不想谈场，就算只想谈粒子，只要统一这两者，也自动得到量子场论。下面我来解释为什么。这样你能更好地体会量子场论。
好。咱们把非相对论性量子力学的做法拿来，推广去推导相对论性量子力学。假设你是一九二六年的人，量子力学刚被发现。非相对论性那套懂了，现在推广到狭义相对论。好，在非相对论性量子。
力学。
怎么推导薛定谔方程？做法是，先从非相对论性粒子的色散关系出发。然后把 E 换成 i 对 t 的偏导，好，p 呢，让这个矢量变成。
先不管 h bar。p 变成空间导数，方程就成了自由粒子的薛定谔方程。
这就是自由非相对论性粒子的薛定谔方程，再加势能等。就这么推出来的。这是非相对论性量子力学。但假如你处在量子力学早期，现在咱们试着推广到狭义相对论，这很容易，在相对论情形。
你就有相对论情形的色散关系。
你说，咱们照做一遍。同样替换，E 换成 i 对 t 的偏导，p 换成那一个，方程就能写出来。
把导数合并移到同一边，得到的就是对 mu 的偏导乘对 mu 的偏导。
就得到它。这方程眼熟吗？
这就是我们写过的最简标量场运动方程。但这里解释很不同。之前写过，叫克莱因-戈登方程。
这就是克莱因-戈登方程，最简自由标量场的运动方程。但这里解释很不一样。记住，psi 不是场。量子力学里，它是单个粒子的波函数，psi 是粒子出现在t 时刻空间位置 x 处的振幅，取平方就是概率。它描述的不是场，是单个粒子的波函数。虽然它和之前场论的方程一模一样。
克莱因和戈登就是这么干的。他们试着推广非相对论性量子力学，写下这方程后他们说，这下永垂不朽了，因为写出了相对论性量子力学的第一个方程，然后。
很快你会意识到，这个方程要想解释成波函数的方程，其实问题很多。
说很多有点夸张，其实就是几个问题。
好，我来给这方程标号，我的星号已经用完了，四星有点过头了，这一节就叫它方程一吧。马上能看到几个困难。
把方程一。
当成波动方程。
当成相对论性。
粒子的波动方程。
省点时间，这是非相对论性粒子的波函数，想把量子力学推广到相对论性量子力学，就把这当成单个相对论性粒子的波动方程。那么第一个。
第一个是，如果你还记得。
这方程里，好，回想你早年在学以波函数为基础的量子力学，从这方程能推出概率守恒的方程，概率守恒，那个方程告诉你，psi 的平方该解释成概率。对吧？
但是。
对这个方程，你能证明，没有一个量。
能够拿来当作。
概率密度。
概率密度按定义要满足两个条件，第一，它非负。
第二，它要守恒。概率得守恒，不然就违反了，你可以证明，这个方程其实不允许。那个方程允许这种量，这个方程不允许，好？我就不推了。这在习题二里，对，习题二里你们自己来证。还有。
第二个困难是。
把它平方来求能量。
取平方根后，能量原则上。
正负都有，两个解，E 等于正负这个量。
相比之下，那个方程只有正能量，经典上你可以说，扔掉第二支。
经典上可以人为扔掉那支，但量子力学上，经典上。
不管第二支。
负能支。
但在量子力学里，这行不通。因为方程摆在那，就自动有负的解。量子力学下，就有这样的色散关系。
这个色散关系，就是 E 作为 p 的函数。有正能一支，也有负能一支。大家记得，量子力学里有能级，一条条的能级。
这儿的粒子，能量比那边的粒子高。这条能级比那条高。量子力学里，粒子总有一定概率，从高能级跳到低能级。就像氢原子，一激发总会落回低能级。这种事在量子力学里躲不开。对吧？不能把这支直接扔掉。这会导致不稳定。
因为能量可以无穷地负下去，对吧？可以无穷地负下去。所有粒子都会掉到无穷负能里，系统就出大问题了。
所以这两个，就是最突出的。
问题。后来大家试了各种办法，想绕开它们，有的很巧妙，这里就不细讲了。但我要提一点：就算这些问题都解决了。
相对论性量子力学还是不成立，原因很根本。这些只是表面原因。其实还有更根本的理由。
就是相对论性量子力学，连概念本身都说不通。
按定义，如果要把这东西当成波函数，波函数是什么意思？前面说过，它描述单个粒子在某一点出现的振幅。也就是 t 时刻、x 那一点。那要是有两个粒子呢？那就引入粒子一和粒子二的位置，还有时间 t。这描述两个粒子。三个粒子就要更多 x。记得，非相对论性量子力学就是这么做的。在非相对论性量子力学里，这说得通。因为不同分支不会混起来。一个粒子、两个粒子分得清清楚楚。非相对论性系统里，粒子不会产生或消灭。
但在相对论性系统里，随时能产生粒子。能量够多，就能造出新粒子。比如产生正反电子对，加速器里天天有。电子还能湮灭成光子。对吧？所以粒子数并不守恒，不守恒。那这种波函数概念就根本讲不通了。所以只要狭义相对论和量子力学放在一起，就必须有一个框架，能同时描述任意多的粒子。因为粒子数随时都在变。因为粒子会湮灭、会产生。这一点，波函数这种概念做不到。
波函数做不到。神奇的是，场论能做到。场论一旦量子化。
就会自动给你一个框架，统一描述任意多的粒子。一个粒子、两个粒子、任意多个都行。这就是场论的魔法。所以场论在粒子物理里这么重要。因为场的激发，自动提供了描述任意多粒子的机制。今天到这。