MIT 量子场论·8.323·第03讲：为什么需要量子场论（完整文稿）
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开场回顾
都懂了吗？上一讲我们讲了诺特定理。每个对称性，每个连续对称性，都有对应的守恒流。然后我们也开始讲相对论性量子力学，就是要把狭义相对论和量子力学统一起来。好。最直接的想法，就是相对论性量子力学。最直接的。
薛定谔方程的推广。比如。
上一讲最后，我们讲了薛定谔方程最直接的推广。就是说，如果E等于P平方除以二M，在非相对论性量子力学里，就得到薛定谔方程，对吧？
如果相对论性粒子，E方等于P方加M方，那就得到克莱因-戈登方程。
波函数与经典场
这里的psi，指的是波函数。它描述的是，做了这个推广，就是要描述相对论性自由粒子的量子力学。质量为M，对，M。这里的psi tx，就是波函数。
一个相对论性粒子的。
相对论性粒子，质量是。
M。
我们还注意到，这个方程其实和最简单的场论方程，形式一样。我们也讲了最简单的标量。
场论，经典的。这就是一个简单的经典标量场论。
这个理论的作用量，可以写成。
如下形式。
这是你能写下的最简单的理论，而且相对论不变。运动方程呢，把它当成经典场。它的运动方程，形式和这个方程一模一样。但现在这里的phi，它同样是tx的函数，但物理解释完全不同了，这里是经典场。
对，这是经典场。所以在这种情况下，这里x的含义，这里就大不一样了。不只是phi和psi的物理解释不同，这里x的含义也不同。这个x只是个标签，标着场在空间的位置。场就定义在这些位置上。但在量子力学这边，x是这个相对论性粒子的位置算符的本征值。解释完全不同。
我把这个方程标成一，这个标成二，这个标成二撇。
我们还提过，这个可以理解为相对论性粒子的波函数。
四个根本困难
但作为相对论性量子力学方程，它有不少困难。
第一个问题是，你们会在PSI2里证明，没办法合理地。
定义一个。
正定的。
概率密度。所以如果你想把它解释为。
成波动方程，就必须有概率密度。因为量子力学里概率要守恒。
第二个困难是存在负能量态。因为那个平方。开方时会出负号，就有负能量态了。这在量子力学里躲不掉，虽然经典上可以人为扔掉。第三点我们最后提过。
对于相对论性波动方程来说，你只能描述固定的。
粒子数。
所以粒子数不能变。这个方程只描述单个粒子。要描述两个粒子，就得为另一个波函数单独写方程。双粒子波函数就是这样，以此类推。但这在相对论体系里说不通。因为我们知道，相对论里 E 等于 mc 平方。
无论如何，只要能量够，就能产生粒子。这意味着粒子数在给定过程中不守恒，对吧？所以想用量子力学描述一个过程，就不能用粒子数固定、改不了的框架。这其实是最根本的困难：粒子数没法改变。与这个困难相关的，是解释的问题。
我们说，这里 t 和 x 之间，存在一个根本的不对称。好，也许我把它算作第四点。
另一个困难是根本性的不对称。
介于 t和 x 之间。
在这个波动方程里，t 只是描述演化用的参数，而 x 则是。
量子算符的本征值。比如加上帽子，就代表对应的量子算符。对，这是位置算符的本征值。这种不对称更明显：两个粒子有两个 x，却只有一个 t。
走向量子场论
由于这些根本困难，把这四个困难连起来。
我们就可以得出结论，相对论性量子力学，也就是写下波动方程，那这个波函数呢，就不能是根本的。
描述。相对论性量子力学就指这类波动方程。
它顶多只能是种近似。
就是说。
这只是在某些。
情形下。
假设没有。
粒子的产生或湮灭。
所以在粒子数固定的情形。
这时可以用它做近似，但它不能作为基本的描述。比如后面我们会讲这个波动方程的费米子版本。它描述的是无自旋粒子。后面我们会讲电子的狄拉克方程，自旋二分之一。只要不产生新电子，它确实能描述氢原子里的电子。总之，量子力学只能算一种近似描述。但现在如果你想统一狭义。
相对论和量子力学，正确的框架就是量子场论。事实证明量子场论能解决这些困难。
正确的做法是这样的。如果你想描述量子力学，比如描述质量为 m 的相对论性粒子，这正是我们这里想做的，正确的做法，乍看不太直观，是从这个场论出发。它看似和相对论性粒子无关。先从这个经典场论出发，再量子化。结果表明，把它当量子场论来处理，它就成了描述任意数目质量为 m 的相对论性粒子的理论。
这就是不直观的地方，这正是场论的奇妙之处，它自动给出了处理任意多粒子的框架。标记。
而且还有一点。
在场论里，t 和 x 都是参数，即使 x 只标记位置。所以 t 和 x 都是参数，这样很容易让它们平起平坐，和狭义相对论兼容，对吧？
好。有问题吗？
我们会看到正确的框架就是量子场论，对吧？
离散系统的极限
最后，作为量子场论的最后一个动机，我们简单讲讲最后一点。场论还可以。
作为离散系统的极限。
对吧？这最常出现在凝聚态物理里。
我们来看一个8.03课里的例子，好吗？想象链上有一系列粒子，也就是一排原子，好吗？原子之间用弹簧连接。
把它当成无限长，间距设为 a，好吗？
原子位于一些格点上，晶格间距是 a，好吗？
我们可以用位置标记每个粒子。比如这是 x0，这是 x1，这是 x2，等等，好吗？一般的粒子记作 xn。
第 n 个粒子的位置是 x n，我们还可以引入偏差也就是偏离平衡位置的量，记作 eta n。
现在来看这个理论中 eta n 的动力学。这是第 n 个粒子偏离平衡的量，x n0 是它的平衡位置。写下这个系统的拉格朗日量，我们很容易就能写成 t 减 v。t 是动能。v 是势能。可以写成对所有粒子求和。假设它们质量相同，写成 mu 乘 eta n 点的平方，这是动能项。mu 是每个粒子的质量。
势能呢，我们假设每个位置上还有一点相互作用，因为粒子被弹簧连着，之间有简谐力。
在相邻粒子之间。
再想象每个位置还有一个简谐势，把粒子本身困住。这就是个很简单的弹簧粒子问题，八零三里学过。清楚吧？
我想你们多数人见过。八零三的任务，其实就是求这系统的简正模式。
连续极限成场论
八零三里还讲过，取 a 趋于零的极限，比如晶格间距很小，而且你只关心远大于 a 的大尺度行为，就可以把系统当成连续体，不必逐个看粒子。取 a 趋零极限，就能把这条链当成。
连续介质。
好吗？这样每个 eta n t，就换成 eta x t。x 标记位置，x 是位置，t 描述演化。eta 是 x 处的偏差，还随时间变。这就是振子。
拉格朗日量里对 n 求和，可以换成对 dx 的积分。
把它当成一维连续体，就是 dx 的积分。当然这里有个标记。因为晶格间距是 a，这里的微元就是 a。a 乘以对 n 求和，换成 dx。
a 是晶格间距。现在就能用连续理论来写出这个拉格朗日量。
写成连续理论的拉格朗日量，动手算。好，我再多写一步，写成 a 乘上求和。把 a 提出来，因为换成积分需要它。就是二分之一 mu 比 a，eta n 点平方。
减一半 lambda a。
我只是稍微改写这个。
拉格朗日量，方便取连续极限。得把 a 提出来。但对这一项，因为它能感知两者的差，分母要除以a，分子就要乘a，前面还有一个a。取连续极限时，把它换成积分就行。
然后你就。
可以写成二分之一mu波浪eta点的平方，eta n就换成eta x t。
这里我记作lambda波浪乘eta对x偏导的平方，这一项就换成eta的导数。这就变成二分之一sigma波浪eta平方。好吗？这个mu波浪，当然，是mu除以a。lambda波浪是lambda乘a，sigma。
波浪是sigma除以a。连续极限要求这些量不变，波浪量要固定。这样就有连续的拉格朗日量，得到一个经典场论。这理论跟那个理论。
基本一样。好，我们把mu波浪这个因子提到前面来。
只差一个整体因子而已。lambda波浪除以mu波浪，叫v平方。sigma波浪除以mu波浪是m平方。v平方就是lambda波浪除以mu波浪，对吧。m平方等于sigma波浪除以mu波浪。好吗？
这就跟那个理论基本一样。
当v等于1时，只要v是1。
两者就一样了，这就是方程二。这个v对应相对论情形的光速，但一般情况下它。
取别的值就是非相对论性场论。
凝聚态与三条路
这个例子虽然非常简单，但它其实是处理很多凝聚态体系的通用方法。它们常涉及晶格，比如说固体，可以想象所有原子都排在格点上，等等。如果只关心宏观行为，就可以把固体看成连续体。如果想研究这个系统的量子力学，量子场论就自然出现了。
好，这例子有问题吗？
嗯？
抱歉，所以系统的极限是速度为1？那物理意义是什么？是跟弹簧强度有关？对，对，就对应那种情况。
它只是说相对论极限很特殊，发生在一个非常特殊的点上。为什么那是相对论极限？lambda是弹簧强度，mu是质量，得差不多才行啊。对对，从这里读不出太多东西，对对。只是当选了特殊参数时，才会有相对论极限。
还有问题吗？
那这些都是标量吗？
也可以有张量或者矢量。
那能处理什么？
比如可以处理费米子，也能处理自旋。比如有个伊辛模型，就考虑自旋点阵。取平均自旋，当成标量场，又能写出一个场论。相变研究的突破用数学物理搞清相变的本质，描述相变附近的行为，正好和场论的发展重合。也加深了对量子场论的理解。
好，还有问题吗？
好，总结一下到目前为止讲的内容。
所有的路都通向量子场论。我们讲了三条路，就三条。但它们很通用。第一，研究有趣的量子动力学。
一些经典场。
比如电磁场，或者研究引力的话，时空度规。
等等。这种情况已有经典场论。但世界是量子的，想知道它的量子版本。第二条，它统一了狭义相对论和量子力学。需要场论来统一它们。第三条，它是大尺度下的描述。
离散系统。
把三者合在一起，就能覆盖物理学的很多很多领域，对吧？它们覆盖物理学的很多很多领域。
课程路线图
好，现在说说这学期的计划。好，计划如下。
这只是大纲的另一种说法。
第一章之后，第二章我们先做的是。
讨论最简单的场论。
由方程二描述。就是理论二，二和二撇，二撇是它的运动方程。物理上我们总从最简单的例子开始，总是这样。我们就从这个开始。会看到这个理论描述。
这个场论描述的是无自旋的。
有质量粒子。
把那个理论量子化后，就得到自由无自旋有质量粒子的理论。
你可能觉得有点无聊，自由就是说粒子间不相互作用。第三章我们加入相互作用，讲怎么。
处理相互作用。引入相互作用，讲怎么处理粒子间的相互作用。
然后在第四章，进入真正的物理。这个标量场也真实存在，比如可以描述希格斯玻色子。不过希格斯玻色子可能离日常较远。第四章我们讲更贴近的东西。我们讲电子的理论，叫狄拉克理论。
这个理论描述自由的自旋二分之一粒子。
这是忽略相互作用时的电子理论。好，这就是自由的自旋二分之一粒子。
然后我们。
接下来看麦克斯韦理论。
这就是量子化的电磁场理论。
把麦克斯韦理论量子化。没有源项，就是真空的麦克斯韦理论，你得到的是自由理论，还是没有相互作用。
无质量、自旋一粒子你就得到无质量自旋一粒子的理论。
这就是光子。这就是量子化的电磁场。好，接下来是第五。
抱歉，这里应该是第五章。我找一下。现在我们进入第六章。
我们把第四章和第五章合在一起。
电子，光子呢，一般用伽马来表示，把电子和光子的理论合到一起，再加上它们之间的相互作用，然后我们就得到了所谓的量子电动力学。
这就叫QED。
量子电动力学非常普适，基本涵盖所有量子现象，微观现象，可以说一直到弱相互作用和强相互作用。只要你不进到原子核里面，或者不去特别高的能量，它基本上就涵盖了大部分的物理。对。然后我们会来讲怎么做，讲完之后呢，这门课也就结束了。大家对这一块有什么问题吗？好。
这就是课程的路线图。对，这个。
各章讲义，对。
好。还有别的问题吗？请讲。
抱歉？哦，是胶子。
对，胶子也是无质量自旋一的粒子，但它们会自己跟自己相互作用。所以胶子不一样，要描述它，得等量子场论二。光子的特点是，它自己不跟自己相互作用，但胶子会自己跟自己相互作用。对。基本上除了胶子，其他我们都处理，对。
还有吗？
自由标量场量子化
好。那我们现在进入第二章，来讲这个理论。其实我不该把它擦掉的。
现在讲这个理论。这个理论描述三种粒子，我们叫它自由标量场理论。
这就是我们要研究的理论。接下来我们就来讲，怎么把这个理论构造出来。
好。那第一步，我们先来快速地过一遍谐振子的量子化，你们的习题集里已经做过了，所以我们可以快一点。那么我们在海森堡绘景中。
对谐振子。
做量子化。
我们会看到，只要正确理解这个例子，把这个场论量子化就很简单。把这个场论量子化就变得很简单了。好，我们先从谐振子开始。
这里我隐含地取质量为一，频率也为一。
好，我把频率放这儿。质量取为一。
对这个理论来说。这是个简单谐振子，你们可能早就很熟悉了。动量p就是x点，共轭动量是x点，哈密顿量是p方除以二，加一半欧米伽方x方。运动方程是x双点等于负欧米伽方x。
好。
我们先看这个理论的经典部分。
经典情形。我们知道怎么解这个方程。经典解就是。
xt等于a余弦欧米伽t，加b正弦欧米伽t，a、b是积分常数。
为方便起见，也可以写成复数形式，就是，a乘e负i欧米伽t，加a星e的i欧米伽t，a是复常数。这还是积分常数，只是写法不同。
这些都是积分常数。
好。这就是完整解了。看量子。
量子化。
这时经典的动力学变量，就变成海森堡算符。变成量子算符，特别是在海森堡绘景里，它还依赖时间。这时方程就变成变成算符方程。我该给方程编号，这个星号变成算符方程。
星号是x帽的算符方程。形式跟经典方程完全一样，但解读不同了。这时x帽就成了算符。
那解呢？
记作双星号。
它还是满足那个方程。它仍满足那个方程，只是，它们是c数，因为只是t的函数。但量子力学里，x变成算符。
这就是量子解了。
好。
它仍满足方程，只是量子力学里x加了帽。
它仍满足方程，但这些是c数。
左边是算符，只能是A帽和B帽是算符，A也必须是算符。星号要换成dagger。现在。
比如说，A变成A帽，A星号变成A帽dagger。这些是算符方程的积分常数。它们就成了常数算符。就是量子的常数算符。
好，它们就是常数算符，是量子算符方程的积分常数。解就是，这就是你的量子力学解。
这是常用的形式。
也可以用等价的那个，但我们常用这种。
从这里求导也能得到p。这时变成算符方程，对x求导，就能求出p等等。对吧？
对，p帽t直接求导就得到。
好，然后自己算一下，很简单。
现在。
这方程呢，我们已经解出了量子问题，因为找到了算符方程的完整解。只差还要加上正则条件。
它就等于i。
把x和p的表达式代到这里面，就会发现a和a dagger。
它们的对易子等于1。这就是熟悉的谐振子产生和湮灭算符关系。谐振子的。
现在还能用a来构建希尔伯特空间，因为现在所有算符，因为x和p都能用a和a dagger表示，所以理论里任何算符都能用它们表示，对吧？
用a和a dagger就够了，它们是整个量子理论的基本积木。再用它建希尔伯特空间。希尔伯特空间由最低态定义，就是被a湮灭的态。而更高的激发态。
用a dagger作用在基态上就得到。好，这就是完整的理论。这就是完整的理论。于是现在，有了这些知识，理论里什么都能算，什么都能算。关于谐振子还有问题吗？
好。那么。
我来总结一下。这些可能很熟悉，但总结一下用过的规则，好吗？总结一下。
在谐振子情形下的步骤，然后同样的步骤，可以用来对场论做。
量子化。
推广一下。首先。第零步，就是经典运动方程，变成量子的算符方程。好，第一步，是找到最一般的解。
求经典运动方程的一般解。就是运动方程。好，然后呢。
然后有了量子，你就把。
解里的积分常数。
在第一步中，提升为常数算符。
量子的常数算符，好吗？
这样就有完整的时间演化，在。
量子层面，好吗？
现在知道量子算符怎么演化了。
然后呢，你施加正则。
条件。
这些条件。
这样就能告诉你，这些积分常数算符之间的对易子，好吧，跟这里一样。
然后。
那么这些常数算符呢。
在第二步里，现在你也知道它们之间的对易关系，就能用它来。
生成希尔伯特空间。
第一到第四步，都非常通用，只要你能做到，你基本上就能把它用到任何系统上。谐振子一个自由度，可以用到两个、三个自由度，还能用到无限自由度的场论，好，现在就用到场论上。
用这个步骤做不到，对，因为有限维的希尔伯特空间，没有经典对应物，我们从经典系统出发再量子化。而有限维希尔伯特空间的量子系统，天生就是内禀量子的，比如自旋，自旋就是内禀量子的东西，对，没错。
对对，原因就是它们没有经典对应，对。
对。产生算符总能生成整个希尔伯特空间吗？对，你可以这么想，这个问题很好。我们先看这个谐振子，再试着推广它，因为X和P是独立的基本量。任何算符都能用a和a dagger写出。这样希尔伯特空间就能由它们生成，因为它们是所有算符的基石。
对，这里的真空态是从能量来的。先解出X和P，用它们写出哈密顿量，再找能量最低的态，你会发现最低能态正好满足这个方程，对。然后从那里，就能找到其他态。
对，量子场论里我们也会用同样的方法。好。
场的傅里叶模式
好，现在回到量子力学。我们可以把它用到这个理论里。
我们把这方法用到这个理论上。这里补充一下：与phi共轭的正则动量密度叫作pi。它就是phi对时间的导数。从哈密顿密度能明确算出。就是二分之一pi平方。
这就是经典运动方程。
现在来解这个经典运动方程。
这个方程，很好解，因为具有平移对称性。
做傅里叶变换。所以我们可以做傅里叶变换。
现在来做傅里叶变换。所以2撇方程就解出来了。
把phi x写成等于e的负iEt加ik点x次方，好？
这样你就能看到，这就解出来了，并给出。
一组基，用来解。
2.0，好？
就是平面波，对，平面波。
现在把它代回去，就得到色散关系。E平方应该等于m平方加k平方。
我们把它记作欧米伽k平方。欧米伽k就定义为根号下k平方加m平方。
对E开平方，就能取正负欧米伽k。E取正负欧米伽k。我们通常把这个解，分成两部分。
出于历史原因。
习惯上把u k x定义为e的负i欧米伽k t次方。那么。
现在我们代入了E的正根。这通常叫作正能量解。
虽然这个。
名字有点误导性。
其实我们还没有定义能量，后面会看到，这并不是粒子真正的能量。这只是个习惯叫法，是约定俗成的名字。然后你就可以定义k的复共轭。现在对应地，里面就是负的欧米伽k了。
我们取它的复共轭。
这就叫负能量解。
合起来。
它们构成一组完备解，一组完备的解。
就是完备基，一套完备的，基。
是由所有k的uk，和它的复共轭uk星组成的。
对所有k都成立。这就是那个波动方程的完备解。这就是，嗯。
有问题吗？
这就像经典的平面波，你们之前应该也见过。
好，现在可以写最一般的解了。这是个基。
对应这里的正负i欧米伽t指数项。现在代入积分常数，就能写出。
最一般的经典。
解。
所以我们可以直接写phi x，等于对所有可能的k积分，因为k取所有值，全部加起来。
所以前面这个因子只是为了方便，它纯粹是一种约定。不加也行，这只是个约定。然后我们就有a k乘u k，加上a k星乘u k星。以a k和a k星为积分常数，这就是最一般的解。
这是一套完整的积分常数。
那么。
现在到了量子层面。
按规则，我们找到了最一般的经典解。而在量子层面，只要把这里升级成算符就行。加个帽子就行。改成dagger号。
好，这就成了你的。
量子算符的基。
对吧？这就是全部的量子算符。
这样理论就解出来了，好，这就解出了算符方程。解出了算符方程。
正则对易关系
下一步就是施加正则。
对易关系。
现在我们得动动脑筋想想了，好。到目前为止很简单。但现在得想想。
对于有限的谐振子，或者说单变量量子系统。
你就直接有这个。
你就有这个。现在要推广到这两个场上。
所以说，我们要推广出对应 phi。
x 的场论。现在把时间和空间坐标分开。这个共轭动量就是 pi，就是共轭动量密度。
要在同一时刻做。
记住，演化算符是同一个，所以要在同一时刻取值，也就是等时。正则量子化条件总是在等时下成立。
但 x 只是算符的标签，不必相同，这里可以是 x，那里是 x 撇。现在要推广这个量到场论里。
现在稍微猜一下，很容易猜到。
讲之前，大家有疑问吗？——有。
对，x 一直只是空间位置的标签，对吧？对，是场论的标签。那这个做法里，总是要加上吗？
对，一般几阶微分方程总会有积分常数。对，就是这样。那它一直会带下去吗？对对对。还有。
问题？
请说。
对，对，这是个很好的问题。
这只是把量子力学的老办法推广过来。通常做法，就算单变量谐振子，经典系统和量子系统也有对应关系。把经典系统量子化，经典方程就变成量子算符。这里我们用同样的规则。因为量子场论只是无限多自由度的理论，量子力学的规则没变。所以我们还是把经典方程提升为算符方程。
还有问题吗？请问，这个怎么理解？
经典变量？场论也有对应的吗？
嗯，有的。经典上，可以对经典场变量定义泊松括号，然后量子化之后，就变成量子对易子。
对，对，也可以这么做。没错。所以一种思路是，你先要，先把有限个自由度的标准泊松括号，推广到经典场论。然后再推广到量子。对，这是一种做法。
还有其他问题吗？
好。答案很好猜，我们就直接猜。
记住。
如果只有一个 x 和一个 p，对，就是这样。
但如果有多个粒子。
比如多个粒子。
就是说。
比方说多个粒子。
量子力学里，动力学变量就是 xA 和 pA。A 从 1 到 n，n 就是粒子数，对吧？于是正则量子化条件变成，x a，x a 和 p b 的对易子，等于 i 德尔塔 a b。
不同的 x 对易。
不同的 p 也对易。
不同的 p 对易，好。
所以这里的 a 和 b，就换成 x 和 x 撇了。x 和 x 撇就是 a、b 的连续版。记住，怎么强调都不过分，x 和 x 撇只是自由度的标签。
现在来猜。
所以必然有下面的结果。
从这里必有，phi t x 和 phi t x 撇的对易子等于零。再看 pi t x，这里的 pi 就相当于 p。对，这些都是算符。
和 pi t x 撇的对易子为零。然后 phi t x 和 pi t x 撇的对易子，只能在 x 不等于 x 撇时是零，x 相等时才不是零。
就是它的推广。
那你现在可以猜，这该是什么？
德尔塔函数？对，就是德尔塔函数。但为什么必须是德尔塔函数？为什么不能是德尔塔函数的导数？比如一百阶导数？
这个问题用量纲分析就能解决。
已知它跟德尔塔函数有关。现在来定。我们来做个简单的量纲分析。
先写下作用量。作用量我刚擦掉了，抱歉。我只讲思路，量纲分析你们自己肯定能做。作用量在我们用的自然单位制下，是无量纲的。
由此可以推出，phi 的量纲应该是 L 分之一，也就是长度的倒数。对吧？还有这个 pi 呢。
这里 pi，我把那个擦掉，pi 等于 pi 点，说明 pi 的量纲是 L 平方分之一。因为对时间求导，还带很多 L 因子。那就意味着右边这里必须是 L 三次方分之一的东西，因为这里没有别的参数。对，这里本来应该有个 i，对吧？量纲是 L 三次方分之一的话，只能是德尔塔函数，不能是它的导数。
这东西就只是德尔塔函数。所以。按惯例这里有个 i，然后就是三维的德尔塔函数。这样量纲正好是 L 三次方分之一，对吧？好。
现在直接代进去。你有 phi 的表达式了。对它求时间导数，就得到 pi 的表达式。然后把它们代到这里。把两个都代到这里，就能找出这些 a k 之间的对易关系。这个计算稍微整洁一点。不过还挺有意思的，当然就留给你们做了。
只要代进去，就能推出下面这些 a 之间的对易关系。这题我记得在习题集二里，不过我还能改主意。嗯，就放在习题集二。a 和 a 之间的对易子，还有 a dagger 之间的对易子。
现在我就不写帽子了，因为每处都写帽子，我实在写不动。
这些都是零。a 之间的对易关系是零。还有 a。
和。
a 和 a dagger 之间。
这个给你 2π 三次方，乘上 k 的德尔塔函数。
就是三维的德尔塔函数。
这又是直接的推广。
如果你们以前考虑过多个谐振子，那不同谐振子之间的 a，这里的 k 一撇就对应，本质上这里就是无穷多个谐振子，每个都用一个 k 来标记。这就是我们发现的。我写在这儿。
从对易关系。
我们。
可以得出，这个理论量子化之后。
变成无穷多个。
独立的谐振子，互相不耦合的谐振子。
这些谐振子由。
连续参数 k 来标记。
k 就是波数。
对吧？每个 k 就有一个。a 和 a 对易是零，a刀 和 a刀 对易也是零，但 a 和 a刀 就不等于零了。这又是一的连续推广，对吧？对，这就是一的连续推广，因为这里有个连续变量。
对，说不准。
对对对。但你看，量子化条件是量子力学里的。量子力学里，T 和 X 地位不对等。作用量里可以让 X 和 T 平起平坐。可一旦开始量子化，T 就有了特殊地位。
不不不不不。正则对易关系必须在同一时刻来施加。
还有其他问题吗？好。
那么。
对，所以基本上我们就得到了，现在很简单了，对吧？你就可以搭建希尔伯特空间。本质上，就是无穷多个谐振子。好，无穷多个谐振子。所以毫不意外，我们得到无穷多个谐振子，因为我们之前说过，这个场论可以写成链上粒子的连续极限。在前面那些例子里，你知道那就是谐振子。找到简正模式后，全都是一堆谐振子。这只是它的三维版本。
好了，今天我们的时间快到了。下次我们会看到，谐振子的每个激发都可以看成一个时空粒子。这就是核心。现在你有无穷多个谐振子，就可以定义真空了。再用产生算符作用到真空上，你会发现每个激发其实都对应一个粒子，而且……对应一个相对论性粒子。所以这个理论里可以有任意多的粒子，因为你想激发多少次都行，对，每次激发就是一个粒子。好，好。好，我觉得时间差不多了。对，我觉得还早了两分钟。不过这里停下正合适。