MIT 量子场论·8.323·第04讲：自由标量场论的正则量子化（完整文稿）
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量子化概述
好。
上次我们把这个理论量子化了，我再把理论写一遍。
已量子化了。接着写下它的正则动量密度，然后哈密顿密度就是。嗯，平方。
好，还有经典运动方程。
量子化步骤不重复了，量子层面最一般的解已写出。
写成如下。
这个因子是约定写法，然后有个 a k，好，加上。从现在起我省略帽子符号，不再写帽子了。你要始终把它看成量子场、量子算符，明白吗。停。
u k 是完备解系。
写成 e 的负 i omega t 次方。
这就是解的基。
这就是算符 phi 的算符方程的完整解。还能求它的共轭动量密度 pi，直接求导就行。我就不显写了。
接着讨论了，可以施加正则对易关系。也就是。pi x 跟。
x 一撇，也可以选 pi k x 和pi k x 一撇等于零。然后 pi k x。
x 一撇，由德尔塔给出。
上次课最后就讲了这些。
把这些表达式代进来，就能得到那些积分常数的对易关系。a k 和 a k dagger 是积分常数，是常算符，好。代进去就得到正则，得到 a k 和 a dagger 的对易关系。
a k 和 a k 一撇等于。
还有 a dagger k 和 a dagger k 一撇等于零。而 a k 一撇 dagger 等于一个德尔塔函数。波矢空间的，好。
那么。看这些式子，它们基本上就是，我们其实找到无穷多个谐振子。每个谐振子用一组连续数 k 来标记。对易关系就是标准的 a、a dagger 关系的连续推广。
因为德尔塔函数，它们互相独立。k 不等于 k 一撇时，对易为零。
这样图景就更清楚了。确实，我们得到无穷多个谐振子。这些只是对易关系。还不能说明真有谐振子。要看谐振子，得算哈密顿量。
计算 Hamiltonian
现在来试着算哈密顿量。
现在来算哈密顿量。
这个很简单，直接算就行。
很简单，直接代进去。
把那个表达式代进去，用上面的式子。然后把 phi 和 pi 的表达式代入那个方程，然后直接算就行，细节我们再过一遍。
对，这个计算很简单。然后就得到，嗯，可能过几分钟。
就得到这个结果。代进去之后你会发现，可以做空间积分，因为只剩平面波。直接做空间积分，积出来就是德尔塔函数，还有动量空间等等。最后都化成一个对 k 的积分。然后你会发现，得到的是欧米伽k。
然后是 ak dagger ak。
再加一项。
比如 ak ak dagger。让我看看。嗯，其实，嗯，我想应该是二分之一。
就这样。
好，这就是谐振子的标准表达式，对吧？其实完全一样，就是把连续情形直接求和加起来。就是谐振子。每个频率是欧米伽k，每个振子都用k来标记，对吧？然后用标准技巧，把它改写成一个对易子的形式。
写成对每个k求和。
就得到这个。
把这两项合并，引入一个对易子。写成a dagger a，加上对易项。
就这样。按标准的说法，它等于一。就得到标准答案：欧米伽乘a dagger a，再加二分之一，对吧？但在这里，我们再来一步，我多写一步。所以这是对k的欧米伽k。
ak dagger ak，然后加上E0。E0就是全部振子零点能之和。
就是二分之一欧米伽k。
但麻烦在这儿。
注意，ak和ak dagger的对易。标准时等于一，但这里，当k撇等于k时，就得到德尔塔零。也就是德尔塔零。于是我们得到，两派立方乘德尔塔三零。记住，这个零在动量空间，也就是k空间。我们有两种德尔塔函数。k空间的德尔塔函数，和坐标空间的。
我在这里加下标k，指这是k空间的德尔塔零。
这就是零点能。
这个零点能是发散的，不过我们稍后再讨论它。有问题吗？
Hamiltonian 的性质
好，说明一下。
就提几点。
第一点，有个有趣的事发生了。
看phi和派的表达式，phi和派都明显含时间。这里有时间项。而这里，只对空间方向积分。对，只积空间方向。积分完全不碰时间。但你注意到什么了？
发现了吗？
不是扔掉时间，它是自己消失的。为什么？
哈密顿量里，phi依赖时间，派也依赖时间。把这些式子代入——这里面的项明显依赖时间，这一项也明显依赖时间。
但做完空间积分后，你会发现时间依赖在计算中抵消了。
猜猜为什么该抵消？能量守恒？对，正是。你们之前处理过时间平移，系统有时间平移对称性。这意味着H应该守恒，是个守恒量。
确实，它不依赖时间，是守恒量。我们明确看到了，没有时间依赖，因为——。
H是守恒量。所以这个积分非常关键。
因为不做积分，这个。哈密顿密度不守恒，总量才守恒。
好，这是点评。
第二点，嗯，再一点。
只有两点评注，就编成一和二吧。第二点，重复一下，我们之前说过：我们刚才处理了phi。我们看到这个处理化成了——。本质上就是一套。
无穷连续的。
谐振子，因为由k标记的，就是。
频率欧米伽k。
我们定义欧米伽k等于k平方加m平方。
那么。
就像我们上次说的。
守恒荷
看到无穷多个谐振子，其实并不奇怪，因为这个场论可以写成。可以看成一串原子，比如用弹簧连起来的，取连续极限，对吧？有了链，我们画的是一维系统，但很容易推广到二维三维。对。弹簧连起的原子链，就是耦合振子。对角化后，求出本征谱，每个模式都是一个谐振子。
用傅里叶变换找到那些解时，本质上就是把弹簧间的相互作用对角化，对吧？所以才得到无穷多个谐振子。从这个角度想，得到无穷多谐振子完全不奇怪。但从场论角度想就有点意外了。当你把场论量子化，最后发现得到一堆谐振子。
在真正做量子化之前，其实很难预料。如果没有分立系统的直觉，就很难想到。
有问题吗？好。你说无穷多谐振子，是指空间任一点有无穷多个吗？还是说连续的每个点各是一个谐振子？对对对，问得很好。就是每个点上都有一个谐振子。对，每个点。本质上每个点一个谐振子，它们在空间连起来。
问一下，为什么不算E零？里面有个德尔塔函数啊。抱歉，再说一遍？就是积分E零等于……为什么不算？哦，这个积分我们做不了。不，上面那个。零点能。哦对，对。这个我们之后会讲，等一下会稍微展开说一下，因为我们要试着给这个结果一个物理解释。
问一下。作业一里a帽是随时间变的，这里a帽不随时间变吗？所以哈密顿量不变？对，a帽是常数算符。对，因为a帽是方程的积分常数，所以不随时间变。
是的。
对对对，那就是相干态的类比。
可以可以，会的，你后面就会看到。讲到希尔伯特空间时，就更清楚了。
还有吗？
好，很好，很好。
现在，讲希尔伯特空间之前，这里我们先得讲两件事。
这里有个点。第二件事，哈密顿量很重要。它是守恒量之一。所以呢，守恒量有这些。
还有别的守恒量。其中一个是空间平移对应的守恒量。空间平移给你守恒的动量，也就是动量守恒。
从空间平移出发。
动量守恒
就能得到这个守恒荷，Pi。
这个作业里应该算过。它长这样。
这 3 个 Pi。
好，这就是空间平移对应守恒量的那个荷，明白吧？把它看作时空动量。
它应该理解为时空动量。
所以这里有两个动量，你别。
搞混它们。这个 Pi 是这个正则变量的共轭动量。也就是说，Pi 是共轭于场变量 phi 的正则动量。而这是普遍的物理时空动量，是整个物理系统的动量。
同样，直接代进去就行。
把 Pi 和 phi 的表达式代进去，它们的演化我们已经知道。已知它们的演化了，直接代入。
然后你就会发现答案是，经过一些。计算和变换之后，就得到这个答案。
这种情况下没有零点能，只有这个式子，好。
另外还有洛伦兹变换，也就是洛伦兹对称性。
由此得到洛伦兹变换对应的守恒荷。同样你能把它明确写出来，好。习题里你们要找出这个 mu nu 量的表达式，用 phi 和 Pi 来写。
然后还能用 a 和 a dagger 把它写出来。不过我没胆量把它放进习题，就当成附加题了。因为那个计算要多算一点东西。对，就是稍微繁琐一点。想多玩玩的同学可以做这道附加题。
总之，这些在习题里就能看到。
好，接着再看，这个 Pi，明显不随时间变。跟时间无关。
好，下一件事，我们来聊聊零点能。
真空能量发散
这个零点能可以写成下面这样。
这是个常数。
可以把它提到 k 积分号外面。它不依赖 k，对吧。这就是 2 pi 三次方德尔塔 3 0。记住，这是 k 空间的德尔塔函数。还有这个 3k。
这就是结果。
现在来理解这一项的意思。
我们来理解这一项的意思，得用一点数学小技巧。回忆一下德尔塔函数的定义。
二派立方乘德尔塔3k，等于傅里叶变换。
指数i k x的。这基本上就是德尔塔函数的定义。
现在取k等于零，咱们把这里的k设为零。于是得到二派立方德尔塔零。再记住k空间里的这个。把这里的k取成零，这是多少？取k等于零，得到什么？对吧？体积，对，就是整个空间的体积。
整个空间的体积。大家想象一下，为了理解这个量，可以把整个宇宙装进大盒子里。想象宇宙装进盒子，这就是总体积。
既然这是体积，这个量就有了很好的解释。现在可以把E零写成实际体积乘伊普西隆零。这个伊普西隆零，就是能量密度。
这是能量密度。
这个能量密度还能再写一步。接着往下写，代入omega k的具体值，再写一步。这就是二分之一。
抱歉，我漏了个派。
对k积分dk，还有k平方。
对，就得到这个。
这积分怎么样？
嗯。
抱歉，再说一遍，你说什么？
嗯。德尔塔函数对所有k都是一？不，这是常数。积分里有常数，总能提出来。德尔塔零跟k无关了。
好，这积分怎么样？能算吗？
好，这个积分算不出来，因为它是发散的。
这个发散在物理上是很有道理的。
这就是能量密度。基本上就是单位体积的能量。
比如说在某个体积里，想象这里有一个单位体积。
记住。
记得吗，这对应取一个离散系统，格点间距是a，然后取这个格子，每个格点上有个谐振子，再把格点间距a取成零。也就是说，a取零时，任何单位体积里都有无限多个振子，对吧？就是每个点上都有振子，组成格点，算了，我不画图了。当间距a趋于零，任何单位体积里振子数都会趋于无穷。发散就是这么来的。因为场论里自由度是连续的。每个点上都有自由度，任何体积里自由度必然无限。这是因为。
自由度是连续的。这是你们第一次见到场论里的发散量。但你很快会发现，这很正常，太正常了。以后发散会经常见到，习以为常。
因为自由度是连续的。
整个量子场论，就是想办法处理这些发散。场论和自由度有限的量子力学，关键区别之一就是这些发散。场论很大一部分就是学怎么处理发散。其实它们不影响物理。但你得发明一些精巧的技巧来对付它们。
懂吗？
这个无限的结果。还跟一个非常出名的问题有关，叫宇宙学常数问题。
因为这说明，任何场论都有无限的零点能。你可能会说，每当看到无穷大。
总有个惯用的处理办法。你们猜猜看到无穷该怎么做？
对，这是个思路。但减无穷很难。微积分课上，无穷减无穷还可能是无穷，对吧？所以必须非常小心。对，确实是这样。但要做这些，得先做一件事。对。
对，很接近了。你们得先做。
对，得先想办法让它变成有限。然后再做减法。就像一加二分之一加三分之一，这是个无穷级数。会得到发散，但你可以截断级数，再用有限的结果近似。这里类似，我们总要加个动量截断，比如设动量小于某个值。比如某个值lambda。它对应场论不再适用的尺度。没人说场论在任何尺度都适用。比如在这个格点模型里。
这个尺度就是格距的倒数，一除以格距。总之截断之后，数还是很大。但不能忽略，这是物理的零点能，原则上能测到。可现实中我们看不到。量子场无处不在，却看不到这么大的真空能。这就是宇宙学常数问题。上周刚好有个讲座，就是讲宇宙学常数问题的。
有问题？
Fock 空间的构建
来讲希尔伯特空间。
就像谐振子那样。我们可以先定义真空态。接下来要做的就是。
量子场论里。
这个E零就可以忽略。
从现在起，我们就忽略这个E零。因为它只是个常数，起不到任何作用。就像电磁学里的势能，对，就像那个单位，总之就这样吧。从现在起忽略这一项。
哈密顿量我只写这一项。
稍后我们会看到例子，这个E零其实可能有物理意义。不过目前就先忽略它。
最低能量态从这里看就很清楚。因为它只是个常数。所以最低能量态，就是基态。
我们常叫它真空态。意思是里面什么都没有。定义就是对任意k，ak作用在零态上等于零。
所以基态，我们记作零态，它满足被这个ak湮灭。接下来，一般的态具有下面的形式。
比如k一振子激发n次，k二振子激发n次。然后k二振子激发若干次，依此类推。正比于，比如说，ak一dagger的n次方，再乘上ak二dagger的n次方等等，作用在零态上。好。就像我们有一大堆谐振子。
对吧？嗯。
这里有问题吗？请讲。
是假设？对，是假设，但你其实可以把它写下来，写出它的波函数。就像标准谐振子的情形，你可以从adagger那些方程出发。从这个方程能写出波函数，这里也能用phi写出真空的波函数。
嗯。
这里？对，我这里只是说，看激发的是哪些k。
这个问题问得好，相关的我马上讲。这里我只是写下一些态。
对，我激发k一、k二。我不是说这个就是。
想加多少个都行。
没错，是这样的。我这样写，意味着我只激发可数个。但原则上，我们马上就会讲到跟你问题相关的地方。还有吗？
好。
比如最简单的激发态，就是只激发一个。
我把它记作k。
其次最简单的，就是激发两个。
这里k一和k二可以相同。相同时，就像平方那样。
这里我也不太在意归一化。
现在我们问，这些态啥物理意义？那我们现在来问，物理意义是什么？
为了这个。
我们可以看。比如说，哈密顿量和时空动量下的量子数。量子。
粒子诠释
比如说，把 H 作用到零态上，当然得到零，假设我们扔掉 E0。先忽略这个 E0。
基态呢，P 作用在零态上，当然是零。因为这里有个 k。E 也一样，扔掉后就是这样。
现在看激发态。
看这个态。
H 作用于 k。答案很明显，各个振子相互独立，直接给出对 k 的。直接用谐振子的老结果。
对吧？再看动量。
这是时空动量算符，作用在这里。本征值是 k i。看这个式子。
好，把这个作用到那个上面。
好，让它作用上去。
算对易子时用标准技巧，就选出特定的那个 k。本征值就是那个 k i。中间有一步计算，你们自己算。一分钟搞定。
会产生一个 delta 函数，消掉那个积分，就挑出这个 k i。
这个方程现在有明显的物理意义。
也就是说，这个 k 态有时空动量。写成四动量，欧米伽 k 和 k。
这正是相对论粒子在壳的动量，对吧？这就是相对论性的……这是一个相对论性粒子的。
动量。
因为欧米伽 k 等于 k 平方加 m 平方，质量 m。
对吧？就是说，p 平方，这是四矢量平方，满足 p 平方等于负 m 平方。
所以很自然，把它看成质量 m 的粒子。
就把它当成质量 m 的粒子。
好。现在来看这个。同样，计算非常简单。你会得到。
这个态，k一，k二。
你会发现能量就是刚定义的。这就是H的能量本征态。它是H的本征态，能量本征值是欧米伽k一加欧米伽k二。
它还是动量算符Pi的本征态，本征值等于k一加k二。对吧？
所以Ek是本征值。
属于H和P，对吧？
嗯，那可能吗？
这里质量不是零，对吧？欧米伽k就是这么定义的，由理论、拉格朗日量定的。对，由拉格朗日量决定。这是你作用量里的参数，对吧？那么。
一样吗？
对，均匀。
每个k都是均匀的。当然，加在一起就非常复杂了。但每个k都均匀。
所以最自然的理解就是。就是，有两个粒子。
动量。
四维动量是欧米伽k一、k一，和欧米伽k二。
k二。
同样地，对任何这样的态都能这么做。
它们都是。H和P的本征矢。比如n k一。
n k二。
等等。这个态对应n k一个粒子。
动量。
都在壳上。在壳粒子，动量k一。同样，n k二就是有n k二个动量k二的粒子。好。
这说明了一点。现在我来做几点说明。
自由理论的性质
开讲之前，有问题吗？
好。第一点，你们可以看到，它能描述任意多个粒子。
在我们的描述里，数学上它们是谐振子，每次激发从时空看对应一个粒子。好，这就是这个理论美妙之处。
然后由于。对易关系，ak1 dagger、ak2 dagger 对任意 k1 k2 都等于零。
所以有交换对称性。构造态时，你可以随意对调顺序。这意味着对称性。
任意调换所有不同粒子。
之中。
这说明这些是玻色子。
玻色子。
好。
第二，所有粒子都有。
正能量。
好，尽管E平方等于。
K平方加M平方，方程有两个解，正负欧米伽K。但看物理态时，看实际的态，所有粒子都有物理能量。好，开方带来的负能量问题就没有了。
还有，一个态的总能量。
等于所有粒子能量之。
和。
这说明它们之间没有相互作用。因为粒子间会有势能，势能会改变能量。把两个粒子放一起，总能量就不再等于各自能量之和。说明没有相互作用。所以这是一系列自由粒子。
这是好的起点。
至少现在有粒子了。
有吗？请说。现在。
有办法改变这个吗。再作用一次，就像又有一个粒子。不行，粒子的动量没法改变。产生之后，它就直线走。对，那个粒子动量不再变化，是守恒的。如果你想改变它。
有办法的。讲完这个自由理论，再看下一个简单理论，就能引入相互作用。有了相互作用，动量就能变了。好，关于这个。
对，这些是动量，就像非相对论里的平面波。如果你想让它。
动。对易关系都不变，因为全都由 a k 组成，一直是对易的。但之后会讲空间定域的波包。有问题吗？
好。
态的归一化
最后我们来聊一下。一个技术性问题。
到目前为止我们还没讲过。这种态的归一化。现在看态的归一化。
先看这些态。
这个单粒子态，看它的归一化。
看 k 和 k 撇的情况。
把它和 k 撇做重叠，就能化成 a k 和 a k 撇达格的对易子。就得到这个结果。这就是个五秒的小计算。做一下重叠，就得到德尔塔。
习题集里你们做过。
但这个量其实不是洛伦兹不变的。它在洛伦兹变换下性质不好。但我们构造态时，希望态在洛伦兹变换下性质好。所以我们改用一种不同的归一化。所以不用原来的态，我们定义下面这种态。新的 k 不带向量记号。
它等于根号二欧米伽 k，再乘上这个 k。
也就是根号二欧米伽。k。
a k 达格作用在真空上。
现在算这个 k 和 k 撇的重叠。这里会有根号因子，这边一个根号欧米伽 k，那边一个，再乘上二欧米伽 k。
加上二π立方，三维德尔塔 k 减 k 撇。
这个对象你们习题里见过。乘上欧米伽 k 后，就有好的洛伦兹变换性质。所以它在洛伦兹变换下变换得很漂亮。以后我们就一直用这个归一化。
这些态有很好的。
你们可以证明，这会在习题三里，值得期待。可以证明。
做洛伦兹变换，lambda 是洛伦兹变换，u lambda 是生成它的量子算符，作用在态 k 上，就得到 lambda k，也就是变换后的 k。就是变换后的 k。好。
对，你们到时候看习题三。
好，如果我没记错的话。
有问题吗？
对，对。
好。
这有个函数。对，因为欧米伽k只依赖空间部分。
还有问题吗？对，你问这个？
不，说的是这个东西。不是洛伦兹不变，是不协变。你一变换，就是这个对象，你变换它时特别别扭。不是说你不能变换，你可以写出它的变换式。它变换得不漂亮。如果它不漂亮，就说明每个分量都不漂亮，用起来就不方便。这个量有个好性质，作用在它上面，就直接对应动量经过洛伦兹变换的那个态。对，很方便。但这性质对它、对这个k都不适用。
好。
所以呢，我们还可以谈波包。这个就是平面波。这就是平面波，是动量本征态。也可以考虑一般的。
单粒子态，形式如下。
可以写成psi，就是这些k的叠加。只需对空间动量积分，因为只有空间动量是独立的。
再乘上一个任意的k函数，作用在这个k上。任何单粒子态都能这么写。
特别是。
选好合适的fk，就能构造局域的波包，好吗？
所以你可以选k，选好fk来。
构造一个。
在空间中局域化的波包，好吗？
再强调一次，你们的作业里会有类似的练习，比如，在你们作业里。
当我把这叫两粒子态。
因为每个都是平面波，本来就不局域，铺满整个空间，对吧？某种意义上对应两个粒子。现在你能解这题了。比如说，构造的时候用。
dk1。
二派立方，dk2。所以。
选好合适的k1、k2函数。
k1、k2。
你就可以构造出两个。
相距很远的波包，好吗，离得很远。
在空间里。
这样就能真正谈论一般的两粒子态了，好吗？这就确认了，这个东西应该理解成两粒子态的平面波版本。好的。
有问题？
请说。
好，好，这问题很好。确实，你们的习题集三里有道题，让你证明不存在本征态，也找不到那样的本征态。在非相对论量子力学里，你有这样的波函数，可以把它定域到一点。但在相对论情形下，就没有这种态的对应了，正因为位置算符不再存在。这个你们以后可以自己再探索，用这套框架，这些问题都能自己研究。
关键就在这，其实你们已经有能力做到。
现在再多说说希尔伯特空间的结构。这里的希尔伯特空间结构有点特殊，因为。
没相互作用。
整个希尔伯特空间可以拆开，我写成花体的H。第一块是真空态，然后是单粒子的空间，再是双粒子的空间。这些块互不相干，因为没有相互作用，对吧？
原则上可以有无穷多个这样的空间。
如果我们限定，粒子数总是有限的，好吧？这些态的集合。
这是单粒子的。
这是双粒子的，等等。也就是粒子数有限的那些态。
叫福克空间。
在福克空间里，只有粒子数有限的态。但粒子数可以任意多，要多大有多大。一百亿，一千亿，但总是有限的。
最后说一下。
这些k。
不管这个k还是那个k，都只是平面波归一化，因为用德尔塔函数归一。严格说，它们不是可归一化的态。严格说不属于物理希尔伯特空间。所以严格来说，这个k，或者随便哪个这样的k态，或者k1、k2，不可归一化，只是平面波归一。
这就好比。
比如，psi 等于 e 的 i k x 次方。在非相对论量子力学里。
这些平面波也一样，不可归一化。但它们方便做各种数学运算，但并不对应一般的物理态。所以一般来说，它们不是真正的物理态。
至于。
物理态的话，我们就要考虑，比如这一类态，然后选好fk，让它可归一化。
那取这个。
然后呢，我们就可以。
psi 由它给出。
psi 的归一化。
你可以算出来。等于这个。
你很容易就能猜到答案。做重叠积分后，你会发现它等于 fk 的模平方。
你算一下这个态的范数，就得到这个。让它取有限值，psi 就是可归一化的态。
所以因为这个原因。
我们不常这么做的。有时你可以只选一组 fx 作基。
比如，fi。
i 取一些数。这个 alpha，可以定义 alpha i。
好。然后这个就会给出，alpha i 会构成所有的，这就是单粒子的基，或者说，单粒子态的基。说个好玩的事，跟刚才有人问的问题有关。实际上。
这里呢，看这个 k。
这些 k 构成一个基。我们只看单粒子态。实际上，这些 k 构成连续统，不可数连续统的基，对吧？不可数的连续统。但一旦加上可归一化条件，你就得选可归一化的 f。可以证明，这些可归一化 f 的基其实是可数的。所以到最后，单粒子希尔伯特空间其实是由可数基生成的。跟你平常的量子力学一样。一旦限制可归一性，就不再是 k 那种不可数的基了。这是个数学事实。
好，这部分有问题吗？
好，那么最后几分钟。
我们。
讲讲守恒荷，好吧？
量子。
这是荷的 rho。
经典上。
我们说，如果作用量在某变换下不变，某个连续变换下不变，比如无穷小形式。
alpha 是无穷小参数。
alpha 标记不同的变换，A 标记不同的场。你会得到守恒流，j mu 由这个 alpha 标记。
alpha 标记不同的对称性，每个对称性都对应一个守恒流，它满足 j mu alpha 等于 0。对吧？阿尔法取1、2等，标记不同对称性。
好。然后就能写下诺特流。我们推导出一般公式，诺特流是这个形式，L的偏导。
phi a的mu偏导，再乘上f a阿尔法。这跟之前基本一样，就是多了个阿尔法指标，标记多种对称性。再减去k mu阿尔法。k mu阿尔法是个导数。就是全导数。假设德尔塔L，等于伊普西隆阿尔法乘k mu阿尔法的mu偏导。所以k mu阿尔法是全导数，对应那个变换。
而q阿尔法，就是这个流对应的守恒荷，零分量。
这是经典的图像。现在我对每个阿尔法，用了更一般的记号。
关键来了。
是在量子层面。那么。
量子层面。
首先像哈密顿量和动量算符那样，q阿尔法不随时间变。
是常数算符。
这反映它是守恒的。
另外q还有个重要性质。
就是q阿尔法作用在场上时，看它和场的对易子，它会生成。
这种变换。
结果是这样。
好，这里放个参数伊普西隆阿尔法。
对q来说，指标放上标下标都行，然后你就得到。
对吧？这样就对phi生成了那个变换。好，这可以明确证出来。
这个可以明确证出来。不过时间快到了。用这个式子就行。我快速说一下证明思路。
比如说。
来看这个j的零分量。
那j的零分量呢。
就等于L的偏导，对时间0求phi a的偏导，再乘f a阿尔法。
那我们来考虑。
嗯，我看今天时间不够讲完了，那这个就留到下次再讲吧。我只提一句，量子层面它会生成无穷小变换。这个q也能这样写，好，可以引入指数i lambda q。如果q是守恒荷，然后你可以把q写成这样，这个算符就会生成。
它作用在phi上。
就生成有限变换。
这样就把phi变成phi一撇，也就是有限变换。总之，对于psi 2，你们实际上会自己动手验证几个简单的例子。你们会发现，这确实管用。下一节课，我们会给你们一个简单推导，证明这确实成立。好，一般情况下都成立。