MIT 量子场论·8.323·第05讲：复标量场理论与反粒子（完整文稿）
本文是视频《MIT 量子场论·8.323·第05讲：复标量场理论与反粒子》（作者：MIT OpenCourseWare（主讲 Prof. Hong Liu（刘宏）））的完整文稿（全文整理版），与精读笔记配套阅读；▶ 中配视频。
诺特定理回顾
那么上一次课，我们差不多讲完了自由标量场理论的量子化。然后我们证明了，这个理论的激发，基本上就给出相对论性的粒子。我们还讨论了其他内容，比如希尔伯特空间的结构，守恒量等等。那么最后，我们讲到了。
怎么去理解这个守恒荷。
在量子层面。
好，经典情况下。那我们有，对称变换就是说，把 phi 阿尔法 变到某个 phi 阿尔法一撇，好，phi 阿尔法一撇，通常写成无穷小形式，引入参数阿尔法和伊普西隆。还可以有多个对称性，每个变换配一个伊普西隆，阿尔法区分不同变换。然后。
这个变换可依赖 phi 阿尔法，也可依赖它的导数等。
有这样的对称变换，就会产生一个守恒流。它由阿尔法标注，阿尔法只是区分不同的守恒流，如果它守恒。
好。
这是经典表述。诺特定理教我们怎么具体写出这个流。
所以这个流可以明确地写出来。
这个 k mu 来自拉格朗日密度的变换。假设这个变换下，拉格朗日密度变成阿尔法乘 k mu 对 mu 的偏导，再乘阿尔法。
阿尔法不重要，它只是标注不同的对称性。指标在上在下都无所谓，好。然后取流的零分量，也就是荷的零分量，对整个空间做积分，就得到守恒荷。
守恒荷。
对吧。
荷作为生成元
还有。嗯。
现在讨论。
到了量子层面，把理论量子化之后，它就变成量子算符，整个流都变成量子算符。然后 Q 也是一个量子算符，好，在量子层面上。
在这个层面上，Q 阿尔法因为守恒，就变成不依赖时间的算符。
我们已经看到。
比如哈密顿量和动量的情形，我们明确证明了它们其实不依赖时间。但在量子力学里，这个 Q 能起更重要的作用。
能起更重要的作用。其实它可以看作对称性的生成元，好。
我们要证明下面这个结论，考虑这个伊普西隆，考虑这样一个量，嗯。
考虑 Q 和 phi 阿尔法的对易子。好。现在我们接着讲。
我写在这里。生成减伊普西隆 alpha，alpha A。好。q 阿尔法与 phi A 的对易子，本质上生成这个变换。生成这个无穷小变换。
所以 q 阿尔法也叫对称性的生成元。
这个结论我马上证明。这之前有疑问吗？老师，流方程里 f 怎么带阿尔法？
对对，就是阿尔法。别管指标位置。阿尔法只是标记不同的流。不用管位置，上下写只是图方便。
有吗？
请问，这里是对所有阿尔法求和吗？式子里 j 阿尔法配偏导，是对所有阿尔法求和吗？对，是对所有阿尔法求和。重复指标都要求和。如果只有一个，比如只有一个伊普西隆，当然不求和。但有两个不同荷，就要求和。
还有吗？
好。那么。
受限情形证明
我们来证明它。一般情形下这个结论很好证。
就叫它星号。我们分情况看。先考虑一个子情形。
先假设。f。
也就是 phi A 的这个变换，不含。
时间导数。而且 K 的零分量等于零。好。先考虑一个更受限的情形。这个。
受限情形其实涵盖很多很多例子，覆盖大多数情况。比如平移对称性给出能动张量。这适用于 i mu 情形。t mu i，这是空间方向对应的守恒流。这是。
空间平移。
做空间平移时，这时 F 由空间导数给出，不含时间导数。K 也不含零分量，K 零是零。我提醒一下，你们习题集里做过。这个例子中，i 对应这里的阿尔法。每个方向都有一个平移，所以阿尔法，i 就是这里的阿尔法，mu 就是这里的 j mu。
这也适用于所有内部。对称性。
所谓内禀对称，就是变换不涉及时空坐标。比如你习题集里的复标量场，可以转一个相位。这就叫内禀变换，因为变换不涉及时空坐标。反过来，求应力张量时要平移时空，这就涉及时空变换了。这个对应时空变换，是时空对称；而这个，是内禀对称。好，所有内禀对称，变换都不含时间导数。
这种情况就简单了，因为。这时呢，j mu 的零分量，按定义就由第一项给出，就是正则动量。
也就是跟 A 共轭，好。第一个因子，L 对 mu phi A 的偏导，取 mu 等于零。也就是 phi A 的时间导数，按定义就是正则动量密度。跟 phi A 共轭。然后是 f。阿尔法，好，f、a、阿尔法。
好。
很好。
对这个式子，我补充一句。
这个式子，经典上你想怎么写都行。但量子力学里有重要细节，因为式子里通常有 phi，对吧？而动量跟它不一定对易。这就是场论版的算符排序歧义，量子力学里你们早见过。从经典过渡到量子。
本科量子力学就有。从经典力学到量子力学，X 和 P 同时出现时，算符怎么排序就成了问题。这里也可能有排序问题。
算符排序歧义，你得注意。
这种歧义常能靠物理考量解决。等一下我们会看到一些例子。
对易子计算验证
假设我们已经选好了排序。看这个对易子。
直接写下定义。就是对全空间积分，伊普西隆阿尔法，然后有 pi a，f a 阿尔法 phi a。
等下，抱歉，这里改叫 phi b，它和 phi a 不同，两个指标要求和。这边叫 b，这里是 phi a，好。现在用动量密度和 phi 的对易关系。我们之前一般性地讲过，标量情形之前讲过，一般就有这个对易关系，是三维德尔塔。
比如这是 x，那是 x prime。就是 x 减 x prime，还有德尔塔 AB。每个场只和自己的共轭动量配对，不同场当然就没有。好，有了这个。现在用它，这里是 x。好，我把这个记成撇，这个是x。
抱歉，我该把x标清楚点。这里标x，这边就是x撇。这里是x，这边是x撇。抱歉，刚才没留够空，我重写一下。那么。
这里给出 d3 x撇 伊普西隆 阿尔法，然后还有这个 pi a，然后是 x撇，phi 阿尔法a 在 x撇处，然后与它对易，抱歉。
阿尔法在下面。b，再乘 phi x，行吧？
好。
我们可以算这个，比如取t等于零，那我就把t省略了。
然后直接用这个对易关系就行了，这就给出负 i，伊普西隆 阿尔法，phi 阿尔法a，phi a 阿尔法 x。
好，取在x上，好。
这样就验证了那个式子，对吧？好。
确认成立。
时间平移与哈密顿量
时间平移时这个就不满足了。好。先问一下，这部分有问题吗？
简单情形想法很简单，就是第一项正比于动量，再取和它共轭的动量，然后就这么用，好吗？是。你是说因为我们的限制，两项乘在一起？对，对。那要是没有对0的偏导，这里没有时间导数，说明这里没动量。没动量的话，这两个就对易。不管在哪儿，都对易。问得好，这点我忘了提。
还有吗？
好。那么，那现在呢，有一种特殊情形，就是时间平移。
好，有时间平移的话，举个例子，比如说，是这个，嗯，这个，这个。
这个例子就是……时间平移时，这里的L相当于a，phi对t的偏导就是这里的f，然后这个就是pi a。这里也有时间导数。
这里也有时间导数，所以这项本身也是个pi。L里也可能含时间导数。这里L就是k0。这时k0不为零，就等于L。
这时守恒量就是H。
这种情况我们前面一般论证不适用，因为这里也有pi，这里还可能有时间导数，所以情况更复杂。但下面这种情况显然成立，因为按定义，H作用在任何场上，负i，phi a对t的偏导。这正好就是场的时移变换。在这个特殊情况下，这个方程也成立。
有问题吗？
这直接由海森堡方程推出。你可以把这个方程理解为。
H就是时移对称性的生成元。作用在场上就生成时移。无穷小时移，就是对phi的时间导数。
生成有限变换
好。
这些都是无穷小变换。但从这里出发，还能。用Q得到场上的有限变换。我们能生成有限变换。
来看这个量，比如u lambda alpha。lambda alpha就是一些参数。
解释一下这个式子。Q是算符，lambda只是一些数。lambda是常数参数，alpha还要求和，对吧。
类似海森堡方程。但不知道H的形式，怎么算对易子？但你说过它也不该依赖时间导数，对吧。对，没错。这里这个一般论证就不适用了。这种情况下，你可以直接验证。你可以写下H的具体形式，然后具体算出来。但其实不必算，凭自洽性就知道它成立。因为我们量子化时，其实就是在解海森堡方程。
不过你可以自己验证一下。
好。
这里的lambda alpha就是一组。
有限变换的参数。
它们能用来生成有限变换。用u lambda alpha作用。
在phi a上，再乘上u lambda alpha。
的共轭，就得到phi a prime。这就是phi的有限变换。当lambda alpha无穷小时，展开这个指数，领头项就是这个。领头项就变成这一项。所以当lambda alpha等于伊普西隆alpha趋于零时，这个方程，带星的和带双星的方程就化为。
在领头非平凡阶，化为带星那条。
展开指数就得到了。
一般来说都可以这么做。
原因很简单，不用算，你可以想象，把无数个u组合起来，无穷小变换。叠起来就能生成有限变换。
习题集里你们已经算过例子。
所以。
你们习题里已经算过例子，能看到 ht 减 i p i xi。
作用在 phi 上是 0，就是负 i ht 加 i p i xi。然后就得到 phi tx。对吧？就是 t 比 dx。所以这里，这个就是，ht 减 p i xi，就是我们这里的 lambda 阿尔法 q 阿尔法。这里阿尔法取 0 和 i 两个方向。先看 0 方向。
这里 t 只是参数。lambda 阿尔法等于 t 和负 xi，对吧？而。q 阿尔法。
q 阿尔法等于 t 乘 xi。就写 t 乘 xi 吧。这里的 q 阿尔法就是 h 减 p。
好。
很好，这就是个例子。
洛伦兹变换例子
再看洛伦兹变换，这次的例子就是它。
来看一下，你们习题里已经洛伦兹变换里。
守恒荷，其实一共六个，你知道从 1、0，还有 0、3，加起来一共六个守恒荷，三个转动三个 boost，对吧？那么写有限变换的时候。
会有六个参数。
六个参数，就是 omega mu nu。因为 mu nu 反对称，习题里你们算过，这个参数也该是反对称的，对吧？它们就是有限角。
有限角，哦抱歉，是有限角和 boost。
它们给出有限转动角和 boost 的参数。这就生成洛伦兹变换，能生成洛伦兹变换。
比如说，用 u lambda 作用在 phi x 上，u lambda 的 dagger 作用 phi x，得到 phi prime x。它等于 phi 作用在 lambda1 x 上，对吧？lambda1 x 就是那个洛伦兹变换。
作用在 x mu 上，参数。
由 omega mu nu 决定。大写 Lambda 就是对应的洛伦兹变换。
懂吗？你的意思是，我们假设了执行这些变换的算符能这样表示，但不用考虑它是否满足那个代数，才能这样表示吗？还是变换群的问题？对对对，确实。这里不是说我假设了。我直接给你结果。就是构造的时候，对，如果你想生成这个。
对，我直接告诉你答案。就是无穷小变换的组合。对。如果做无穷小变换的组合，就能得到。我明确写出它是因为，你在量子力学里应该见过，角动量就是这么做的。量子力学里算角动量，方法是同一套。这里只是推广到一般对称性。
对？这是个类似的问题，就是说，有对称性时，这是找表示的一般流程。对，是个定理。量子力学里通常直接假设有个幺正算符，满足群性质，对吧？对。不用证明这保持群性质吗？对，这个有保证。我没细讲这个，但这是有保证的。本质上，这就是你构造李代数的方法。因为李代数嘛，有限变换也是由无穷小变换构成的。
本质上是有保证的。这背后代数上有一系列定理，我没细讲。有人可能见过，讲量子力学角动量时。那边故事完全一样。对。我知道旋转对应角动量守恒。嗯。那 boost 对应什么直觉呢？对，确实。没有特别直观的理解方式。它也没那么有用。你可以定义 boost 荷。
看所有空间分量，看这里的 ij，这些就是角动量算符。这是你见过的标准角动量算符。看零 i 分量，有时叫 boost 荷，它生成 boost。但作为守恒量来说，我们一般不用它，在其他场合也不常用。嗯。
对。
它不给额外的东西。
处理物理问题时，角动量、动量、能量守恒就够了，对。
一般不需要用 boost 荷守恒解题，所以很少见到它。比如讨论狭义相对论时，就很少用它。但在量子场论里，它扮演重要角色。这就是生成 boost 对称性的算符。想在希尔伯特空间里做 boost，就用这个算符，好。
提问？
好。
相位旋转与小结
好。对，在你的习题集里。
另一个例子是相位旋转。我快速写一下。如果有复标量场，另一个例子是相位旋转。
相位旋转对应一个荷和一个流，可以给场转相位。这是个对称性，会生成荷 Q。
作用在态上，若有阿尔法 Q，作用在 phi 上。
可以直接验证它生成 phi 相位旋转。
生成 phi 相位旋转。
有问题吗？
很好。
那么我们来总结一下实标量场的讨论。
现在可以进入新部分。
进入新部分前，最后问一下，有问题吗？
好。
现在我们快速讲一下。关于。
快速讲讲复标量场。
复标量场引入
复标量场会带来新东西，就是反粒子的概念。现在来看拉格朗日密度。
只看二次项。最简单二次型。
拉格朗日量。但现在phi是复的。
复的。
复数其实就等价于两个实的。
你可以把phi分解成实部和虚部，代进去就会发现。就得到两个独立项，一项是实部的自由实标量场。另一项是虚部的自由标量场。因为把phi写成a加i b，这里就变成a平方加b平方。这里也是平方和。所以本质上，我们只是得到之前理论的两份拷贝，就两份而已。你会说，那太平凡了，就是两份拷贝，有什么好考虑的？但有好处。
但这样写，概念上有新东西。这种写法比写成两个独立标量场更有好处。正是在这个形式下。
相位对称性就一目了然。如果写成两个独立的实标量场，对称性就看不出来。这个形式下相位对称很明显，phi变成e的i阿尔法次方phi。你马上就能看到这个对称。而当用实部和虚部来写的时候，这就相当于实部和虚部之间的转动。
好。
运动方程也一样，因为你可以。
很容易发现方程是一样的。因为它就是之前理论的两份拷贝，运动方程当然一样。还有拉格朗日密度，phi的动量密度。
就是phi星对0的偏导，反过来就是phi对0的偏导。我们可以把phi和phi星当成两个独立场。正则动量，如果取phi对0的偏导，就得到phi星对0的偏导，反过来也是。它们是互为复共轭的动量。
好。
复场解与量子化
现在我们又能写下最一般的解。
所以解的基底是一样的。
同一套解。
跟之前一样。
我们就有。u k。
u k 取 x，得到负 i 欧米伽 k t，加 i k x。
然后你还有 u k x 星号，好，因为这是同一个方程。所以方程的基底，当然也跟之前是一样的。嗯？那如果这个场是个算符，它是可观测量，不一定厄米。不一定，这个场要看情况。所以。
对，确实，如果它直接可观，就必须是厄米的。不过，我可以有两个可观测量，比如合成一个实变量。对对，场本身不一定要直接可观。只是场。
对，场自己不一定要可观。
对对对，这个不是那个动量。这只是做正则量子化用的正则动量，对吧？对。对，这不是时空动量。那场的算符伴随，跟星号是一回事吗？对，因为我们这里讲的是经典理论。等到了量子化的时候，确实会把星号换成 dagger。
好，现在我们就能写下这个方程最一般的解。
现在写下最一般的解。
那么。
跟之前有一点小差别，几乎一模一样，就一处不同。
好，u k。不过这里，之前我们有 A k dagger。我们写 A k 星号，经典地说。先写经典情形。之前是这样。之前为什么有 A k 星号？因为是实标量场。
因为场必须是实的，所以总配上它的复共轭。但现在不同了，phi 是复的。
而且 phi 是复的，就不再有实的条件了。这就意味着，这里我可以选另一个任意常数。这是任意常数。按惯例，我在这里加个星号。没关系，只是叫法而已。现在写下最一般的解。现在你有两组了。一个是 A，是复数；另一个也是复数，是 B。现在有两组复数，好吗？这很合理，因为一个复变量，自由度会翻倍，你的积分常数也就跟着翻倍。对吧？
那 B k。
是独立于 A 的。
现在有两组变量，好吗？
那 phi 星号呢，只要取它的复共轭就能得到。就只是取个复共轭而已。然后这一整套。
的。积分常数。
就是有 a k，还有 a k 星号，然后有 b k，接着还有 b k 星号。
这就是经典情形。
进入量子。
做法跟之前一样。把这些全变成算符方程。好，就把它叫作 dagger，就叫它 dagger。把它们都看作算符。这些就成了常数算符。
变成常数算符。这里也一样，都加上 dagger。
那么。
来看等时关联。我们还得加上等时对易。
关系。
所以。
现在要加上等时对易关系。
再说一遍，这很简单。比如 phi dagger。独立的算符之间应该互相对易。它们都是场变量。phi 自己对易。这些在不同空间点取值。为省时间我就不写全了。这些都在同一时刻、不同空间点取值，好吧？
这些都等于零，对吧？除了唯一不为零的。就是 phi 和它自己的正则动量，对吧？
其他都是零。只有 phi 不为零。
就是正则动量。
它同样由 i 乘 delta 三次方，x 减 x 撇给出。phi dagger 也类似，好吧？
好，我又偷懒了，好吧？这就是你要加上的条件。
把这些代进去，就能求出 a 和 a dagger 的对易关系。
同样你又会发现。
b 也一样。
现在有两套，无穷多的谐振子。之前只有一族，现在有两族。其他对易都为零。
这部分很无聊，不用计算几乎全都能猜到。
不用算，全都能猜出来。
现在也能写出哈密顿量，用 ak 和 bk 表示，跟你猜的一样。就是对应 ak 的谐振子，加上对应 bk 的谐振子。
基态呢，还是老样子。
是被两者都湮灭的态。
这就是真空态。
现在可以把 ak dagger 作用在零态上，bk dagger 也一样。
等等。
现在有两种粒子了。
现在有两种粒子。
所产生的。
由。ak dagger 和。和 bk dagger。分成两种了。
它们都有相同的。都满足同样的在壳条件，两种粒子质量一样。满足。p 平方等于。m 平方减。
m 平方。因为它们都来自同一个方程。
那怎么区分它们呢？现在有两种粒子。
它们质量相同。而且。按定义，它们都没差别它们的自旋也相同，都是零自旋的标量粒子，没有方向。
问题还是怎么把它们区分开。
对吧。
U1荷与排序
这时U1对称性有用了。
对，这里U1对称性就有用了。这个U1，就是相位旋转。
相位旋转是对称性。数学上叫U1变换。通常就叫它U1对称性。
U1只是个数学名词，指相位旋转。数学上它是个U1群。数学名词。
区分它们的办法，也许是看守恒的数，看量子数。看两个粒子怎么区分？就看量子数。现在它们的量子数几乎一样，质量相同，而且都是标量粒子。自旋是零，没有自旋。剩下的守恒量。量子数必须是守恒的，对吧。不然它会随时间变，就没法用它标记粒子了。
但如果这个对称性给出一个守恒量，这个U1对称性，诺特定理。
诺特定理说，这个U1。
会给出守恒荷。算一下，把诺特定理算完，就得到对应守恒荷，你们应该算过了。我按经典形式写。
我写成。phi 星号。经典形式是这样的。
量子化后是算符。
但这里有个算符。但现在到了量子层面，就有了算符排序的先后含糊问题。你看这里，phi 和它的共轭动量不对易，对吧？这里 phi 乘上共轭动量，如果换个顺序，就会多出一个德尔塔函数。
对，得到一个德尔塔函数，它会带来无穷大，对。所以。
量子层面。
排序呢。
相差。
一个。
无穷大的常数。
对吧。
要是换个顺序，就会得到德尔塔函数，而这个函数还要取值。
因为两个在同一 x 取值，德尔塔函数取到零，就得到无穷大常数。
不过这个含糊我们可以解决，办法是。
要求。
真空态，也就是能量最低的态，电荷要等于零。因为按定义，能量最低时里面什么都没有。那就是真空。
要求最低能量态电荷为零，好，这样就唯一确定了排序带来的无穷含糊。把这个等于零代进去。
就能证明，电荷 q 有下面的形式。
好。其实你已经能猜到答案了，就是 ak dagger 乘 ak，再减去 bk dagger 乘 bk，得到的就是这个，对吧？把表达式代进去。
把表达式和时间导数代进去，对，时间导数就是 pi，直接代入。又因为它是守恒的，所有时间项都消掉了，最后就得到这两个式子，差一个常数，而这个条件要求那常数必须是零，对，写成这种形式后，好。你看这项会消灭真空，因为 a 在 dagger 右边，所以自动消灭真空态。
这一项就是 a 的占据数，这一项是 bk 的占据数，好。所以我们其实。
就得到了电荷 q。
就是 ak 的占据数，加上 bk 的占据数。好，这个占据数我就写成 n，好。
老师，我还不明白这怎么解决了问题，换个顺序还是有这个问题，为什么？调换之后还是会得到无穷大常数，我不懂为什么这样就算解决了。不，调换之后那个态就不是真空了，对吧？常数就消掉了。只有 a 在 dagger 右边这种形式，才会消灭真空。
因为之前的思路是，如果你换序，就能得到结果，因为这里会得到同样的东西，对吧？如果你换序，也会得到同样结果。不不不，这里有歧义。这里我不知道该怎么排序。是把 phi 放右边，还是把 pi 放右边，我不确定该怎么做。这里没规定。
这里也没规定。但如果我加上这条件，好，也就是说我加上这条件后，Q 必须是这个形式。
必须是这样。当然换序后结果一样，算符不变。算符不变。但如果你说，就按这个顺序来。
得到的就是带无穷常数的这个式子。而这个条件告诉你，得改变这里的顺序，让常数等于零。
写成这种形式，写成 a 和 b，常数就必须是零。好？
对，对，这确实是个好问题，很难说得清楚。所以大多数时候呢，你可以用某个物理条件来定它。就像这里，用物理要求就能定下来，之后就不用再操心了。但排序的歧义，就需要你去找这样的物理要求。对，不然你该用哪种排序呢？找这个要求的过程，本身就是理解物理。
对。上次课出现无穷能量时，克里希纳要求基态能量为零，于是用了不同的排序。对。不，那种情况下没有排序歧义。因为那时我们只有。pi 的平方加上。phi 的平方，这里没有排序歧义。得到什么就是什么。得无穷常数就是无穷常数，你没自由。
还有问题吗？好？我也不太明白 phi 和 phi dagger。你怎么知道场之间没有耦合？怎么表示？你说这只是定义，那它从哪来？
对，这只是定义。这部分和场论无关，只有这个方程才涉及场论。这就是量子力学，不同自由度彼此对易。就像量子力学里 x1 和 x2 对易。对。这里就是 phi 和 phi dagger，它是 x1 乘 x2 的类比。
问题？
不，这里跟那个不一样。这里你该把它们看成位形空间里的变量。而在量子力学里，位形空间里的变量总是彼此对易。
好。现在关键是这里有个负号。
也就是说，看 Q 和 A 的对易子。
得到 A。而看 A 和 BK 的对易子，得到的是负 BK。好。我来说明一下，因为它是用来产生粒子的。
算一下对易子，就能发现这点。
就是说。
如果。
你去看这些由单个粒子定义的态。
对应 A 的单粒子态，和对应 B 的单粒子态。
这两个都是 Q 的本征矢。但这里本征值是一，这个是负一。
说明它们电荷相反。
好，那么 k，哦对了，我先稍微解释一下这个记号。这个 k 不是指它的大小，而是指四矢量。通常我们的惯例是，四矢量，比如 x mu 就写成 x，p mu 就写成 p。所以这里要把 k 看成四矢量。
这只是简写。所以 k 和 k bar，它们有相同的质量。
自旋同为零。
电荷相反。
用这个 q 没法区分这两种粒子。
通常我们把这种量子数全都相同，只差电荷相反的粒子，叫作粒子和反粒子。这里产生的是粒子。
这里产生反粒子。
这里我补充一句，先不作证明。在相对论性量子场论里可以证明，任何粒子都有反粒子。任何量子场中，任何相对论性量子场论里，粒子都有反粒子。实标量场里只有一种粒子，那反粒子就是它自己，明白吧？嗯，好。
好，有问题吗？有。
呃。
对，q 守恒来自对称性。
当然。
呃，不对，其实 A 粒子数和 B 粒子数并不分别守恒。原则上它们可以湮灭。自由场论里它们不能湮灭，但如果考虑更复杂的、有相互作用的理论，它们就可以湮灭消失了。这种情况下，这个公式仍然成立，这个对称性还在。这就是对称性的威力，有相互作用时也适用。对，你说的在自由场论里确实成立。
那这是不是说，有区别？
对，它们的性质几乎完全一样，只是电荷相反。对，本质上。
就像现实世界，有电子也有反物质，它们的性质基本相同。如果世界由反物质构成，一切行为还是会一样。只是电荷不同。
反粒子和粒子的数目。
守恒，对，是守恒的。
那我想问，这是电荷呢，还是别的什么荷？比如讲到电子，涉及更复杂的公式时，就得引入自旋，就是有自旋的粒子。这时也有电子和反电子。道理是一样的。这不一定要涉及那个吧？不是的。对，但它是那个的类比。对，就是那个的类比。这里的荷可以是别的荷，不一定非得是电荷。
一个不物理的对称性，能给出物理的守恒量吗？它不像空间平移、时间平移那样，我不知道该怎么想。对，所以我们叫它内部对称性。
对没直觉的东西，就给它起个新名字。习惯了这名字，就说懂了。对，这主要是习惯问题。乍一看确实不直观，因为这不是你日常能接触到的。不是日常经验里的东西，不过，它其实就是……在最基本的层面，它和能量守恒没多大差别，就是某个对称性给出一个守恒量。
嗯？
对，原则上可以有多个荷，但粒子和反粒子总是相反。就荷而言，总是相反的。两种不同的荷，每种都可以有，对，我想是的。
可以有，但粒子和反粒子总是相反。可以有多个荷，但总是相反。
还有吗？
好，很好。复数场的讨论就到这里。
还有几分钟，我们讲下一个话题。
那。
希望。
现在讲一个概念，叫传播子。
回想一下，非相对论量子力学里。
位置矢量起着关键作用。这是 x 的本征矢。
这个 x 就是位置算符。我加个帽子来强调，这是算符。这就是 x 的本征矢。它很关键，因为要用它定义波函数。
波函数模的平方，给出粒子在位置 x 的概率。所以这是个关键量。按这个说法。
通常讲薛定谔图像，从 psi x 开始，在 t 等于零时。然后求，比如说，从某个 x 开始。
在某个 t 撇时刻。
你想求某个 t 时的 psi x。这是量子力学的基本问题。知道初始时刻的波函数，求将来某时的波函数。
现在我们用海森堡绘景来看这个问题。
在薛定谔绘景里，本征矢只有一套，就是x对不同本征值的本征矢。但到了海森堡绘景。
位置算符随时间变。不同时刻的算符不一样。现在谈位置本征矢，就得加上标签。位置本征矢。
要加t标签。这个t不代表真实时刻，只是个记号。好，这说明它是某算符的。
t时刻位置的。
只表示它是t时刻的本征矢。
这样，量子力学里的这个问题就能改写成另一个问题。
在这个说法里，量子力学的问题。
就变成下面这个，这个量是多少？
对吧？
假设你处在某个本征态，你就是那个本征矢，你处在t撇时刻、值为x撇的位置本征态，那到t时刻x处的振幅是多少？记住，这不涉及时间演化，只是不同时刻标了不同本征值。
这个对象通常记作G。
叫传播子。
它叫传播子。只要知道系统的传播子，就等于完全掌握了这个系统，问题就解了。为啥？因为比如想求t时刻x处的psi，t时刻的波函数，按定义来说。
就是它。海森堡绘景的定义，psi和t时刻位置矢的内积。
现在插入完备态。
在这儿插完备基，就是单位算符。这个量就是G。
就得到G乘x t、x撇 t撇，再乘psi，然后是t撇、x撇，对吧？
若知道。这其实就是t撇时的波函数。若已知初始波函数，知道传播子，做个积分，就能求出这波函数。整个量子系统的信息，其实都在传播子里。都编在这个传播子里。
接下来看看，在量子场论里，这量的对应物是什么。好，在量子场论里，怎么定义传播子？那量子场论里，位置本征态对应的是什么？这个咱们下回再讲。